Dar exemplos de propriedades das funções trigonométricas
rlrl sin (theta+gamma) & =sin theta cos gamma+cos gamma sin theta & & , exemplo sin (pi+x)=ldots cos (theta+gamma) & = & & , exemplo cos (pi+x)=ldots tan (2 theta) & =2 tan theta1-tan ^2 theta & & , exemplo tan (gamma+beta) & = & & , exemplo cos 2 theta & =cos ^2 theta-sin ^2 theta & & , exemplo & =2 cos ^2 theta-1 & & sin 2 theta & = & exemplo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para darmos exemplos de propriedades das funções trigonométricas. Isso envolve usar as identidades trigonométricas que a gente aprende, como fórmulas de adição de ângulos e outras identidades importantes. Para resolver, vamos revisar cada uma dessas propriedades e aplicar nos exemplos que foram solicitados.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a propriedade da função seno que foi dada:
sin (theta + gamma) = sin theta cos gamma + cos theta sin gamma
Essa é a fórmula da soma de ângulos para o seno. Agora, vamos usar esse conceito para o exemplo sin (pi + x).
Sabemos que pi é 180 graus, então:
sin (pi + x) = sin pi cos x + cos pi sin x
Agora, calculando os valores:
sin pi = 0 e cos pi = -1
Substituindo:
sin (pi + x) = 0 cdot cos x + (-1) cdot sin x = -sin x

Passo 3

Agora, vamos para a propriedade da função cosseno:
cos (theta + gamma) = cos theta cos gamma - sin theta sin gamma
Essa é a fórmula da soma de ângulos para o cosseno. Vamos aplicar no exemplo cos (pi + x).
Usando theta = pi e gamma = x:
cos (pi + x) = cos pi cos x - sin pi sin x
Sabemos que:
cos pi = -1 e sin pi = 0
Substituindo:
cos (pi + x) = (-1) cdot cos x - 0 cdot sin x = -cos x

Passo 4

Seguimos para a função tangente com a propriedade:
tan (2 theta) = 2 tan theta1 - tan^2 theta
Vamos dar um exemplo usando essa fórmula. Suponha que queiramos calcular tan (2x).
Aplicando a fórmula:
tan (2x) = 2 tan x1 - tan^2 x
Essa expressão nos ajuda a encontrar o valor da tangente de um ângulo duplo em termos da tangente do ângulo original.

Passo 5

Agora, vamos para a propriedade da tangente da soma de dois ângulos:
tan (gamma + beta) = tan gamma + tan beta1 - tan gamma tan beta
Vamos aplicar no exemplo genérico tan (gamma + beta).
Isso nos permite calcular a tangente da soma de dois ângulos conhecendo as tangentes individuais.

Passo 6

Vamos para a função cosseno com a identidade do ângulo duplo:
cos 2theta = cos^2 theta - sin^2 theta
= 2 cos^2 theta - 1
Essas são duas formas de expressar cos 2theta. Vamos usar a segunda forma para calcular um exemplo, digamos cos (2x):
cos (2x) = 2 cos^2 x - 1
Isso nos ajuda a encontrar o cosseno de um ângulo duplo usando apenas o cosseno do ângulo original.

Passo 7

Por fim, vamos à função seno com a identidade do ângulo duplo:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Vamos aplicar isso no exemplo sin (2x):
sin (2x) = 2 sin x cos x
Essa fórmula facilita o cálculo do seno de um ângulo duplo usando os valores de seno e cosseno do ângulo original.

Resposta

A seguir, os exemplos das propriedades das funções trigonométricas:
rlrl sin (theta+gamma) & =sin theta cos gamma+cos theta sin gamma & , exemplo sin (pi+x) &= -sin x cos (theta+gamma) & =cos theta cos gamma - sin theta sin gamma & , exemplo cos (pi+x) &= -cos x tan (2 theta) & =2 tan theta1-tan ^2 theta & , exemplo tan (2x) &= 2 tan x1 - tan^2 x tan (gamma+beta) & =tan gamma + tan beta1 - tan gamma tan beta & , exemplo tan (gamma+beta) &= tan gamma + tan beta1 - tan gamma tan beta cos 2 theta & =2 cos^2 theta -1 & , exemplo cos (2x) &= 2 cos^2 x -1 sin 2 theta & =2 sin theta cos theta & , exemplo sin (2x) &= 2 sin x cos x

Exercícios relacionados