Escrever exemplos de frações parciais. Dar 7 exemplos
1(x-1)(x+1) & =A(x+1)+B(x-1), & & encontrar A e B 1(n+1) n & =An+Bn+1, & & encontrar A e B 1(x-1)(x^2+2 x+1) & =Ax-1+B x+Cx^2+2 x+1, & & encontrar A, B e C

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de frações parciais! O que a gente precisa fazer aqui é decompor frações racionais em frações mais simples. Isso é muito útil quando queremos integrar funções ou resolver equações algébricas. Para isso, vamos utilizar a técnica de frações parciais, onde quebramos uma fração complexa em somas de frações mais simples com denominadores que são fatores do denominador original.
Vamos dar 7 exemplos de frações parciais e encontrar os valores das constantes envolvidas (como A, B, C, etc.).

Passo 2

Exemplo 1:
1(x-2)(x+3) = Ax-2 + Bx+3
Vamos encontrar A e B.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+3):
1 = A(x+3) + B(x-2)
Agora, escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  • Quando x = 2:
1 = A(2+3) + B(2-2) Rightarrow 1 = 5A Rightarrow A = 15
  • Quando x = -3:
1 = A(-3+3) + B(-3-2) Rightarrow 1 = -5B Rightarrow B = -15

Passo 3

Exemplo 2:
2(n)(n+4) = An + Bn+4
Vamos encontrar A e B.
Multiplicando ambos os lados por n(n+4):
2 = A(n+4) + Bn
Escolhemos valores de n:
  • Quando n = 0:
2 = A(0+4) + B(0) Rightarrow 2 = 4A Rightarrow A = 12
  • Quando n = -4:
2 = A(-4+4) + B(-4) Rightarrow 2 = -4B Rightarrow B = -12

Passo 4

Exemplo 3:
Vamos encontrar A, B e C.
Multiplicando ambos os lados por [(x-1)(x^2+1)):
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação:
    - Substituindo na terceira:
    - Portanto, e

Passo 5

Exemplo 4:
4(x+2)(x^2 - x - 6) = Ax+2 + Bx + Cx^2 - x - 6
Primeiro, fatoramos o denominador x^2 - x - 6:
x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)
Agora, nossa fração fica:
4(x+2)^2 (x-3) = Ax+2 + B(x+2)^2 + Cx-3
Multiplicando ambos os lados por (x+2)^2 (x-3):
4 = A(x+2)(x-3) + B(x-3) + C(x+2)^2
Escolhemos valores de x:
  • Quando x = 3:
4 = A(3+2)(3-3) + B(3-3) + C(3+2)^2 Rightarrow 4 = 25C Rightarrow C = 425
  • Quando x = -2:
4 = A(-2+2)(-2-3) + B(-2-3) + C(-2+2)^2 Rightarrow 4 = -5B Rightarrow B = -45
Agora, para encontrar A, escolhemos outro valor, por exemplo, x = 0:
4 = A(0+2)(0-3) + B(0-3) + C(0+2)^2
4 = A(2)(-3) + B(-3) + C(4)
4 = -6A -3B + 4C
Substituindo B e C:
4 = -6A -3(-45) + 4(425)
4 = -6A + 125 + 1625
4 - 125 - 1625 = -6A
10025 - 6025 - 1625 = -6A
2425 = -6A Rightarrow A = -24150 = -425

Passo 6

Exemplo 5:
Vamos encontrar A, B e C.
Multiplicando ambos os lados por [(x-1)(x^2 + x + 1)):
Expande:
Agrupando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
  • Da primeira equação:
    - Da terceira:
    - Então, e

Passo 7

Exemplo 6:
6(x^2 - 4)(x + 1) = Ax - 2 + Bx + 2 + Cx + 1
Vamos decompor e encontrar A, B e C.
Multiplicando ambos os lados por (x^2 - 4)(x + 1) = (x - 2)(x + 2)(x + 1):
6 = A(x + 2)(x + 1) + B(x - 2)(x + 1) + C(x^2 - 4)
Escolhemos valores de x:
  • Quando x = 2:
6 = A(4)(3) + B(0)(3) + C(4 - 4) Rightarrow 6 = 12A Rightarrow A = 12
  • Quando x = -2:
6 = A(0)(-1) + B(-4)(-1) + C(4 - 4) Rightarrow 6 = 4B Rightarrow B = 32
  • Quando x = -1:
6 = A(1)(0) + B(-3)(0) + C(1 - 4) Rightarrow 6 = -3C Rightarrow C = -2

Passo 8

Exemplo 7:
Vamos encontrar A, B, C e D.
Multiplicando ambos os lados por [(x+1)^2 (x^2 + x + 1)):
Expande cada termo:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: (C = -A]
  • Substituindo C na segunda equação:
  • Substituindo C e B na terceira equação:
  • Da quarta equação:
  • Então, , , , e

Resposta

Pronto! Decompusemos 7 exemplos de frações parciais e encontramos todas as constantes necessárias:
  1. 1(x-2)(x+3) = 15x-2 + -15x+3
  2. 2n(n+4) = 12n + -12n+4
  3. 3(x-1)(x^2+1) = 32x-1 + -32x - 32x^2+1
  4. 4(x+2)(x^2 - x - 6) = -425x+2 + -45(x+2)^2 + 425x-3
  5. 5(x-1)(x^2 + x + 1) = 53x-1 + -53x^2 + x + 1 + -103x^2 + x + 1
  6. 6(x^2 - 4)(x + 1) = 12x-2 + 32x+2 + -2x+1
  7. 7(x+1)^2 (x^2 + x + 1) = 7x+1 + 7(x+1)^2 + -7x -7x^2 + x + 1
Cada exemplo foi resolvido encontrando as constantes necessárias para decompor a fração original em frações mais simples. Espero que tenha ficado claro! Se tiver dúvidas, é só perguntar.

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