dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
sum n^p x^n, p>0

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
sumn=1^inftyn^px^n, p>0
O conteúdo envolve séries de potências e usaremos o critério da raiz para encontrar o raio de convergência e depois examinaremos o comportamento na fronteira |x|=1.

Passo 2

Pelo critério da raiz, calculamos
limsupntoinftyraiz[n]|an|, an=n^p
Temos
raiz[n]n^p=(n^p)^1/n=n^p/n,
e como limntoinftyn^p/n=1, segue
limsupntoinftyraiz[n]|an|=1

Passo 3

O raio de convergência R é dado por
R=1limsupntoinftyraiz[n]|an|=11=1

Passo 4

Para |x|<1 a série converge absolutamente (pode-se comparar n^p|x|^n com uma série geométrica adequada). Para |x|>1 o termo geral n^p x^n não tende a zero, logo a série diverge.

Passo 5

Na fronteira |x|=1:
x=1impliessum n^p,
que diverge pois n^pnotto0.
x=-1impliessum(-1)^n n^p,
cujo termo geral também não tende a zero, portanto diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e a região de convergência é
xin R:lvert xrvert<1

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