Mostre a validade das seguintes regras de inferências:
Regra da Adição (AD)
Dada uma proposição p, pode-se deduzir:
i) p vdash p vee q
ii) q vdash q vee p

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a validade semântica da regra de adição (introdução de disjunção) em lógica proposicional, ou seja, verificar que as inferências
p;vdash;pvee q
e
q;vdash;qvee p
são válidas. Uma inferência Gammavdashvarphi é válida se toda atribuição que torna verdadeiras todas as fórmulas de Gamma também torna verdadeira varphi. No nosso caso, basta provar que as fórmulas
pto(pvee q) e qto(qvee p)
são tautologias.

Passo 2

Mostramos que ,pto(pvee q) é sempre verdadeira. Seja v uma atribuição de valores lógicos a p e q.
Se v(p)=1, então v(pvee q)=1 (pois em uma disjunção basta um disjuntor verdadeiro), logo
vl(pto(pvee q)r)=1to1=1
Se v(p)=0, o condicional com antecedente falso vale 1, ou seja
vl(pto(pvee q)r)=0to v(pvee q)=1
Em ambos os casos vl(pto(pvee q)r)=1, portanto pto(pvee q) é tautologia e a inferência
p;vdash;pvee q
é válida.

Passo 3

De modo análogo, verificamos que ,qto(qvee p) é tautologia. Seja v uma atribuição.
Se v(q)=1, então v(qvee p)=1 e
vl(qto(qvee p)r)=1to1=1
Se v(q)=0, então
vl(qto(qvee p)r)=0to v(qvee p)=1
Em todo caso vl(qto(qvee p)r)=1, logo qto(qvee p) é tautologia e
q;vdash;qvee p
é válida.

Resposta

i) pvdash pvee q é válida.
ii) qvdash qvee p é válida.

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