Mostre a validade das seguintes regras de inferências:
Regra da Adição (AD)
Dada uma proposição
, pode-se deduzir:
i)
ii)
Regra da Adição (AD)
Dada uma proposição
i)
ii)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a validade semântica da regra de adição (introdução de disjunção) em lógica proposicional, ou seja, verificar que as inferências
e
são válidas. Uma inferência
é válida se toda atribuição que torna verdadeiras todas as fórmulas de
também torna verdadeira
. No nosso caso, basta provar que as fórmulas
são tautologias.
Passo 2
Mostramos que
é sempre verdadeira. Seja
uma atribuição de valores lógicos a
e
.
Se , então
(pois em uma disjunção basta um disjuntor verdadeiro), logo
Se
Se
, o condicional com antecedente falso vale 1, ou seja
Em ambos os casos
, portanto
é tautologia e a inferência
é válida.
Passo 3
De modo análogo, verificamos que
é tautologia. Seja
uma atribuição.
Se , então
e
Se
Se
, então
Em todo caso
, logo
é tautologia e
é válida.
Resposta
i)
é válida.
ii) é válida.
ii)