Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia:
u=3 x-4 y^2 ; x=5 p q ; y=3 p^2-2 q ; partial upartial p ; partial upartial q

Passo 1

O enunciado define
u = 3x - 4y^2, x = 5pq, y = 3p^2 - 2q
e pede as derivadas parciais partial upartial p e partial upartial q. Vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis compostas.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de u em relação a x e y. Como
u = 3x - 4y^2,
temos
partial upartial x = 3
e
partial upartial y = -8y.

Passo 3

Agora, para partial upartial p, precisamos de
partial xpartial p e partial ypartial p. Calculamos
partial xpartial p = 5q, partial ypartial p = 6p
Pela regra da cadeia:
partial upartial p = partial upartial x,partial xpartial p + partial upartial y,partial ypartial p = 3cdot5q + (-8y)cdot6p = 15q - 48py
Substituindo y = 3p^2 - 2q, obtemos
partial upartial p = 15q - 48p,(3p^2 - 2q) = 15q - 144p^3 + 96pq = -144p^3 + 96pq + 15q

Passo 4

Para partial upartial q, usamos
partial xpartial q = 5p e partial ypartial q = -2. Então
partial upartial q = partial upartial x,partial xpartial q + partial upartial y,partial ypartial q = 3cdot5p + (-8y)cdot(-2) = 15p + 16y
Substituindo y = 3p^2 - 2q,
partial upartial q = 15p + 16,(3p^2 - 2q) = 15p + 48p^2 - 32q = 48p^2 + 15p - 32q

Resposta

partial upartial p = -144p^3 + 96pq + 15q
partial upartial q = 48p^2 + 15p - 32q

Exercícios relacionados