dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
Passo 1
Estamos diante da série de potências centrada em
:
Queremos achar o raio de convergência
e a região de convergência real, incluindo o comportamento nos extremos
.
Passo 2
Para determinar
, aplicamos o critério da razão às coeficientes
Calculamos
Pelo critério da razão de Cauchy, o raio de convergência é
Passo 3
Daí a série converge estritamente para
isto é no intervalo aberto
-1<x<3 .
Passo 4
Testando o extremo
x=3 (onde
x-1=2 ), temos
que converge por ser alternada, de termos em módulo decrescente a zero (teste de Leibniz).
Passo 5
Testando o extremo
x=-1 (onde
x-1=-2 ), obtemos
que é a série harmônica deslocada e diverge.
Resposta
O raio de convergência é
R=2 .
A série converge para-1<x<3 e, entre os extremos, converge em
x=3 e diverge em
x=-1 .
Em notação de intervalo real, a região de convergência é
A série converge para
Em notação de intervalo real, a região de convergência é