dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
sum(-1)^n (x-1)^n(n+1) 2^n

Passo 1

Estamos diante da série de potências centrada em x=1:
sumn=0^infty (-1)^n (x-1)^n(n+1),2^n
Queremos achar o raio de convergência R e a região de convergência real, incluindo o comportamento nos extremos x=1pm R.

Passo 2

Para determinar R, aplicamos o critério da razão às coeficientes
an = (-1)^n(n+1),2^n
Calculamos
limntoinftyl|an+1anr| = limntoinfty 1(n+2),2^n+11(n+1),2^n = limntoinftyn+1n+2,12 = 12
Pelo critério da razão de Cauchy, o raio de convergência é
R = 112 = 2

Passo 3

Daí a série converge estritamente para
|x-1|<2,
isto é no intervalo aberto -1<x<3.

Passo 4

Testando o extremo x=3 (onde x-1=2), temos
sumn=0^infty (-1)^n2^n(n+1),2^n = sumn=0^infty (-1)^nn+1,
que converge por ser alternada, de termos em módulo decrescente a zero (teste de Leibniz).

Passo 5

Testando o extremo x=-1 (onde x-1=-2), obtemos
sumn=0^infty (-1)^n(-2)^n(n+1),2^n = sumn=0^infty 2^n(n+1),2^n = sumn=0^infty 1n+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=2.
A série converge para -1<x<3 e, entre os extremos, converge em x=3 e diverge em x=-1.
Em notação de intervalo real, a região de convergência é
(-1,3]

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