dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
sum n^2 n(3 n)!(x-2)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=2:
sumn=0^infty n^2n(3n)!,(x-2)^n
O que se pede é o raio de convergência R e, consequentemente, a região de convergência em x. Para isso vamos usar o Teste da Raiz (Cauchy–Hadamard) e, para estimar fatoriais, a fórmula de Stirling.

Passo 2

Defina
an = n^2n(3n)!,(x-2)^n
Pelo Teste da Raiz, consideramos
limntoinfty l|anr|^1/n =limntoinfty n^2l[(3n)!r]^1/n,|x-2|
Se esse limite for L, então a série converge se L<1.

Passo 3

Usamos a aproximação de Stirling para fatoriais grandes:
(3n)! sim raiz6pi n,l(tfrac3ner)^3n
Logo,
l[(3n)!r]^1/n sim l(raiz6pi nr)^1/n,l(tfrac3ner)^3 ;longrightarrow;27,n^3,e^-3,
pois l(raiz6pi nr)^1/nto1. Então
l|anr|^1/n sim n^227,n^3,e^-3,|x-2| =e^327,n,|x-2| ;xrightarrow[ntoinfty];0

Passo 4

Como
limntoinftyl|anr|^1/n=0<1
para qualquer valor de x, concluímos que a série converge para todo xinR. Assim o raio de convergência é infinito.

Resposta

Raio de convergência: R = infty.
Região de convergência: xinRmid -infty<x<infty.

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