dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é séries de potências: para encontrar o raio de convergência vamos usar o teste da raiz (ou limite superior das raízes
-ésimas).
Passo 2
Seja
. Pelo teste da raiz, o raio
atende
Para
n grande,
sinh(n)=tfrace^n-e^-n2approxtfrace^n2 . Logo
Passo 3
Portanto
Passo 4
A série converge para
lvert xrvert< R , isto é
lvert xrvert<1/e . Nos extremos
,x=pm1/e :
- Para
, o termo geral ficax=1/e , diverge.sinh(n),(1/e)^napproxtfrac12(1-e^-2n)totfrac12neq0 - Para
, o termo geral ficax=-1/e , não tende a zero, também diverge.sinh(n),(-1/e)^napproxtfrac12(-1)^n
Logo a região de convergência é
Resposta
Raio de convergência:
R = 1/e .
Região de convergência:x:|x|<1/e .
Região de convergência: