dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
sum(senh n) x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
sumn=1^inftysinh(n),x^n
O conteúdo aqui é séries de potências: para encontrar o raio de convergência vamos usar o teste da raiz (ou limite superior das raízes n-ésimas).

Passo 2

Seja an=sinh(n). Pelo teste da raiz, o raio R atende
1R ;=;limsupntoinftyl|anr|^1/n ;=;limntoinftyl|sinh(n)r|^1/n
Para n grande, sinh(n)=tfrace^n-e^-n2approxtfrace^n2. Logo

Passo 3

limntoinftyl|sinh(n)r|^1/n ;=;limntoinftyl(tfrace^n2r)^1/n ;=;ecdotlimntoinfty2^-1/n ;=;e
Portanto
R=1e

Passo 4

A série converge para lvert xrvert< R, isto é lvert xrvert<1/e. Nos extremos ,x=pm1/e:
  • Para x=1/e, o termo geral fica sinh(n),(1/e)^napproxtfrac12(1-e^-2n)totfrac12neq0, diverge.
  • Para x=-1/e, o termo geral fica sinh(n),(-1/e)^napproxtfrac12(-1)^n, não tende a zero, também diverge.
Logo a região de convergência é
xinR:|x|<1/e

Resposta

Raio de convergência: R = 1/e.
Região de convergência: x:|x|<1/e.

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