dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências centrada em
:
O que vamos usar é o teste da razão para séries de potências:
se
se
então analisamos
.
Passo 2
Calculemos
Como
limntoinftyn^2(n+1)^2=1 , temos
Para convergir pelo teste da razão precisamos de
|x+1|2<1 .
Passo 3
Da condição
|x+1|2<1 segue
Logo o raio de convergência é
e a convergência é garantida em
-3<x<1 .
Passo 4
Agora testamos as extremidades:
- Em
temosx=1 e o termo geral virax+1=2
Essa série converge absolutamente (é p-série com
p=2>1 ).
- Em
temosx=-3 e o termo geral virax+1=-2
que também converge (p-série com
p=2>1 ).
Portanto ambas as extremidades pertencem à região de convergência.
Resposta
Raio de convergência:
R=2 .
Região de convergência:-3<= x<=1 .
Região de convergência: