dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
sum (-1)^n(x+1)^n2^n cdot n^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências centrada em -1:
sumn=1^infty(-1)^n(x+1)^n2^n,n^2
O que vamos usar é o teste da razão para séries de potências:
se
un = (-1)^n(x+1)^n2^n,n^2,
então analisamos
limntoinftyl|un+1/unr|.

Passo 2

Calculemos
|un+1un| =|(-1)^n+1(x+1)^n+12^n+1(n+1)^2 cdot2^n,n^2(-1)^n(x+1)^n| =|x+1|2,n^2(n+1)^2
Como limntoinftyn^2(n+1)^2=1, temos
limntoinfty|un+1un| =|x+1|2
Para convergir pelo teste da razão precisamos de
|x+1|2<1.

Passo 3

Da condição |x+1|2<1 segue
|x+1|<2 Longrightarrow -2<x+1<2 Longrightarrow -3<x<1
Logo o raio de convergência é
R=2
e a convergência é garantida em -3<x<1.

Passo 4

Agora testamos as extremidades:
  1. Em x=1 temos x+1=2 e o termo geral vira
(-1)^n,2^n2^n,n^2 =(-1)^nn^2
Essa série converge absolutamente (é p-série com p=2>1).
  1. Em x=-3 temos x+1=-2 e o termo geral vira
(-1)^n(-2)^n2^n,n^2 =(-1)^n(-1)^n2^n2^n,n^2 =1n^2,
que também converge (p-série com p=2>1).
Portanto ambas as extremidades pertencem à região de convergência.

Resposta

Raio de convergência: R=2.
Região de convergência: -3<= x<=1.

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