dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
sum n x^n2^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
sumn=1^inftyn,x^n2^n
Vamos usar o teste da razão, que é a ferramenta clássica para séries de potências.

Passo 2

Defina
an=n,x^n2^n
O teste da razão diz que a série converge se
L=limntoinfty|an+1an|<1
Calculemos
|an+1an| =(n+1),|x|^,n+1/2^,n+1n,|x|^,n/2^,n =n+1n,|x|2 longrightarrow|x|2 (ntoinfty)

Passo 3

A condição L<1 vira
|x|2<1 Longrightarrow |x|<2
Logo o raio de convergência é
R=2
e a série converge sempre que
|x|<2,
ou seja, no intervalo aberto (-2,2).

Passo 4

Precisamos verificar os extremos x=2 e x=-2:
  1. Para x=2 a série fica sum n, que claramente diverge porque os termos não tendem a zero.
  2. Para x=-2 a série fica sum n(-1)^n. Também diverge, pois l|n(-1)^nr| não tende a zero.
Portanto os extremos não entram na região de convergência.

Resposta

O raio de convergência é R=2 e a região de convergência é -2<x<2.

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