dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
Vamos usar o teste da razão, que é a ferramenta clássica para séries de potências.
Passo 2
Defina
O teste da razão diz que a série converge se
Calculemos
Passo 3
A condição
L<1 vira
Logo o raio de convergência é
e a série converge sempre que
ou seja, no intervalo aberto
(-2,2) .
Passo 4
Precisamos verificar os extremos
x=2 e
x=-2 :
-
Para
a série ficax=2 , que claramente diverge porque os termos não tendem a zero.sum n -
Para
a série ficax=-2 . Também diverge, poissum n(-1)^n não tende a zero.l|n(-1)^nr|
Portanto os extremos não entram na região de convergência.
Resposta
O raio de convergência é
R=2 e a região de convergência é
-2<x<2 .