dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
O que vamos usar:
– Teste da raiz (ou da razão) para achar o raio de convergência.
– Teste de convergência absoluta para .
– Teste de divergência quando .
– Teste de Leibniz (série alternante) para os pontos de fronteira .
– Teste da raiz (ou da razão) para achar o raio de convergência.
– Teste de convergência absoluta para
– Teste de divergência quando
– Teste de Leibniz (série alternante) para os pontos de fronteira
Passo 2
Aplique o teste da raiz ao termo geral
Calculamos
O teste da raiz diz que a série converge se
e diverge se
.
Passo 3
Do resultado do teste da raiz temos o raio de convergência
Passo 4
Para
vale
, logo a série converge absolutamente.
Para os termos não tendem a zero (o teste da raiz dá >1), então a série diverge.
Para
Passo 5
Em
(e de modo análogo em
, pois aparece somente
) a série fica
que é uma série alternante cujos termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz, ela converge (mas não absolutamente, pois
diverge).
Resposta
O raio de convergência é
e a região de convergência é o intervalo
com convergência absoluta para
e convergência condicional nos pontos
.