dar o raio de convergência e a região de convergência da série.
sum(-1)^n-1 x^2 nraiz2 n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n-1,x^2nraiz2n
O que vamos usar:
– Teste da raiz (ou da razão) para achar o raio de convergência.
– Teste de convergência absoluta para lvert xrvert< R.
– Teste de divergência quando lvert xrvert>R.
– Teste de Leibniz (série alternante) para os pontos de fronteira lvert xrvert=R.

Passo 2

Aplique o teste da raiz ao termo geral
bn = (-1)^n-1,x^2nraiz2n
Calculamos
limsupntoinftyraiz[n]lvert bnrvert =limntoinftyraiz[n]lvert xrvert^2nraiz2n =limntoinftylvert xrvert^2(2n)^1/(2n) =lvert xrvert^2
O teste da raiz diz que a série converge se lvert xrvert^2<1 e diverge se lvert xrvert^2>1.

Passo 3

Do resultado do teste da raiz temos o raio de convergência
R=1

Passo 4

Para lvert xrvert<1 vale limsupraiz[n]lvert bnrvert<1, logo a série converge absolutamente.
Para lvert xrvert>1 os termos não tendem a zero (o teste da raiz dá >1), então a série diverge.

Passo 5

Em x=1 (e de modo análogo em x=-1, pois aparece somente x^2n) a série fica
sumn=1^infty(-1)^n-1,1raiz2n,
que é uma série alternante cujos termos 1raiz2n são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz, ela converge (mas não absolutamente, pois sum1/raizn diverge).

Resposta

O raio de convergência é
R=1,
e a região de convergência é o intervalo
-1<= x<= 1,
com convergência absoluta para lvert xrvert<1 e convergência condicional nos pontos x=pm1.

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