Determine se a série converge ou diverge.
sumn=2^infty n+1n^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=2^infty n+1n^2
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de séries numéricas, mais especificamente séries do tipo p-séries e uso da propriedade linear de séries.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral. Note que
n+1n^2 = nn^2 + 1n^2 = 1n + 1n^2
Logo podemos escrever
sumn=2^infty n+1n^2 = sumn=2^infty 1n + sumn=2^infty 1n^2

Passo 3

Analisamos cada série separadamente:
  • sumn=2^infty 1n é a série harmônica (caso p=1), e sabe-se que ela diverge.
  • sumn=2^infty 1n^2 é uma p-série com p=2>1, portanto converge.

Passo 4

Pela propriedade linear de séries, a soma de uma série divergente com uma convergente é divergente. Como a parte sum 1/n diverge, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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