Dar a representação gráfica no plano de Argand - Gauss, o conjunto.
\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} /|\mathrm{z}| \leq 5\}

Passo 1

O enunciado pede a representação gráfica, no plano de Argand–Gauss, do conjunto \{\,\mathrm{z}\in\mathbb{C}\mid |\mathrm{z}|\leq 5\,\}.
Informações dadas: todos os números complexos \mathrm{z} cuja distância à origem (o módulo |\mathrm{z}|) é menor ou igual a \;5.

Passo 2

Interpretando \mathrm{z} como um ponto no plano: escrevemos \mathrm{z}=x+iy, onde x=\operatorname{Re}(\mathrm{z}) e y=\operatorname{Im}(\mathrm{z}). O módulo de \mathrm{z} é
|\mathrm{z}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
A condição |\mathrm{z}|\leq 5 vira a desigualdade em x e y
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 5.

Passo 3

Elimino a raiz quadrada elevando ao quadrado (isso é legítimo porque ambos os lados são não negativos), obtendo a forma usual em coordenadas cartesianas:
x^{2}+y^{2}\leq 25.
Isto é a equação de um disco fechado de centro na origem e raio 5. A fronteira corresponde à igualdade
x^{2}+y^{2}=25,
que é o círculo de raio 5.

Passo 4

Como desenhar concretamente (passo a passo para fazer na prova à mão): traço um sistema de eixos x (eixo real) e y (eixo imaginário); marco no eixo real os pontos \pm 5 e no eixo imaginário \pm 5i (ou seja, as coordenadas (\pm5,0) e (0,\pm5)); com compasso ou à mão desenho o círculo de raio 5 centrado na origem; finalmente sombream a região interior do círculo e deixo a fronteira traçada — como a desigualdade é \leq, a fronteira está incluída.

Passo 5

Dicas e exemplos para fixar: pontos que pertencem ao conjunto: \mathrm{z}=0 (pois |0|=0\leq5), \mathrm{z}=3+4i (pois |3+4i|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5, está na fronteira), \mathrm{z}=5 (no eixo real, fronteira). Um ponto fora do conjunto seria \mathrm{z}=6 pois |6|=6>5.

Resposta

Disco fechado de centro em 0 e raio 5; equivalente a \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 25\}. Em termos gráficos: círculo de raio 5 centrado na origem com a região interior sombreada (a fronteira está incluída).

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