Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R^3 :
  • a) U=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y=0
  • b) V=(x, y, z) in R^3 mid x+y=0 e x-2 z=0
  • c) W=(x, y, z) in R^3 mid x+2 y-z=0
  • d) U cap V
  • e) U+W

Passo 1

O enunciado pede um sistema de geradores (ou seja, um conjunto de vetores cujo span seja o subespaço) para cada um dos subespaços de R^3 definidos por equações lineares. Vamos, em cada caso, resolver as restrições, parametrizar os vetores e extrair um conjunto gerador (preferencialmente uma base).

Passo 2

Para
U = (x,y,z)inR^3 mid x - 2y = 0
temos x = 2y. Seja y = s e z = t, com s,tinR. Então
(x,y,z) = (2s,,s,,t) = s,(2,1,0) + t,(0,0,1)
Logo um sistema de geradores de U é
U = span(2,1,0),,(0,0,1)

Passo 3

Para
V = (x,y,z)inR^3 mid x + y = 0,; x - 2z = 0
das duas equações tiramos
x = -y e x = 2z
Logo -y = 2z, isto é, y = -2z. Seja z = t. Então
(x,y,z) = (2t,,-2t,,t) = t,(2,-2,1)
Um gerador de V é
V = span(2,-2,1)

Passo 4

Para
W = (x,y,z)inR^3 mid x + 2y - z = 0
temos x = -2y + z. Seja y=s e z=t. Então
(x,y,z) = (-2s + t,,s,,t) = s,(-2,1,0) + t,(1,0,1)
Um sistema de geradores de W é
W = span(-2,1,0),,(1,0,1)

Passo 5

Para
De vem , então . De segue . Logo só a solução trivial .
Um gerador (não trivial) para o subespaço zero é o próprio vetor nulo, ou podemos dizer que a base é vazia.

Passo 6

O espaço U+W é o somatório dos dois planos pelo vetor-soma. Como U e W são planos distintos que se cruzam numa reta, a soma deles é todo R^3. De fato, basta notar que três vetores independentes aparecem na união dos geradores:
(2,1,0),;(-2,1,0),;(0,0,1)
são linearmente independentes e geram R^3. Assim
U+W = R^3
Um sistema de geradores para U+W (ou seja, para R^3) pode ser, por exemplo,
(2,1,0),,(-2,1,0),,(0,0,1)
ou simplesmente a base canônica (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Resposta

a) U = span(2,1,0),,(0,0,1)
b) V = span(2,-2,1)
c) W = span(-2,1,0),,(1,0,1)
d) Ucap V = (0,0,0)
e) U+W = R^3, por exemplo span(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

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