Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do
:
- a)
- b)
e
- c)
- d)
- e)
Passo 1
O enunciado pede um sistema de geradores (ou seja, um conjunto de vetores cujo span seja o subespaço) para cada um dos subespaços de
definidos por equações lineares. Vamos, em cada caso, resolver as restrições, parametrizar os vetores e extrair um conjunto gerador (preferencialmente uma base).
Passo 2
Para
temos
. Seja
e
, com
. Então
Logo um sistema de geradores de
é
Passo 3
Para
das duas equações tiramos
Logo
, isto é,
. Seja
. Então
Um gerador de
é
Passo 4
Para
temos
. Seja
e
. Então
Um sistema de geradores de
é
Passo 5
Para
De vem
, então
. De
segue
. Logo só a solução trivial
.
Um gerador (não trivial) para o subespaço zero é o próprio vetor nulo, ou podemos dizer que a base é vazia.
Passo 6
O espaço
é o somatório dos dois planos pelo vetor-soma. Como
e
são planos distintos que se cruzam numa reta, a soma deles é todo
. De fato, basta notar que três vetores independentes aparecem na união dos geradores:
são linearmente independentes e geram
. Assim
Um sistema de geradores para
(ou seja, para
) pode ser, por exemplo,
ou simplesmente a base canônica
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) , por exemplo
b)
c)
d)
e)