Sejam V um espaço vetorial sobre K e B=vii in I uma base de V. Para cada i in I, defina um funcional linear fi: V longrightarrow K tal que fi(vj)=de<ai j.
(a) Mostre que fii in I é l.i.
(b) Mostre que fii in I é uma base de V^* se e somente se I for finito.

Passo 1

O enunciado fala de V um espaço vetorial sobre K com base B=viiin I. Para cada iin I definimos o funcional linear
fi:VtoK, fi(vj)=de<aij,
onde de<aij é o delta de Kronecker. Precisamos mostrar:
(a) fiiin I é linearmente independente em V^*.
(b) fiiin I forma base de V^* se e somente se I for finito.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear finita
sumjin Icj,fj = 0
no sentido de funcionais, com coeficientes cjinK. Aplicando ambos os lados em um vetor de base vk obtemos
0 = l(sumjin Icj,fjr)(vk) = sumjin Icj,fj(vk) = sumjin Icj,de<ajk = ck
Como k era arbitrário, todos cj=0. Logo fi é linearmente independente.

Passo 3

Suponha agora que I seja finito, com lvert Irvert=n. Seja varphiin V^*. Como B é base, dado
v=sumiin Iai,vi
temos
varphi(v) = varphil(sumiin Iai,vir) = sumiin Iai,varphi(vi)
Mas também
sumiin Iai,varphi(vi) = sumiin I(varphi(vi)),fi(v)
Portanto
varphi = sumiin Ivarphi(vi),fi,
ou seja, fi gera todo V^*. Sendo independente e geradora, é base de V^*.

Passo 4

Se I for infinito, considere o funcional
psi:VtoK, psi(vi)=1(forall,iin I)
Isso define um psiin V^*. Se psi fosse combinação finita sumjin Icjfj, ao aplicar em vk daria ck=psi(vk)=1 para todo k, o que exigiria infinitos coeficientes não nulos, contradição. Assim fi não gera todo V^*.

Resposta

(a) fiiin I é linearmente independente.
(b) fiiin I é base de V^* se e somente se I for finito.

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