Sejam
um espaço vetorial sobre
e
uma base de
. Para cada
, defina um funcional linear
tal que
.
(a) Mostre que
é l.i.
(b) Mostre que
é uma base de
se e somente se
for finito.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado fala de
um espaço vetorial sobre
com base
. Para cada
definimos o funcional linear
onde
é o delta de Kronecker. Precisamos mostrar:
(a) é linearmente independente em
.
(b) forma base de
se e somente se
for finito.
(a)
(b)
Passo 2
Suponha que exista uma combinação linear finita
no sentido de funcionais, com coeficientes
. Aplicando ambos os lados em um vetor de base
obtemos
Como
era arbitrário, todos
. Logo
é linearmente independente.
Passo 3
Suponha agora que
seja finito, com
. Seja
. Como
é base, dado
temos
temos
Mas também
Portanto
ou seja,
gera todo
. Sendo independente e geradora, é base de
.
Passo 4
Se
for infinito, considere o funcional
Isso define um
. Se
fosse combinação finita
, ao aplicar em
daria
para todo
, o que exigiria infinitos coeficientes não nulos, contradição. Assim
não gera todo
.
Resposta
(a)
é linearmente independente.
(b) é base de
se e somente se
for finito.
(b)