Sendo W e U subespaços do R^4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W+U se dim(W cap U)=1 ?

Passo 1

O enunciado diz que W e U são subespaços de R^4 com dim W = dim U = 3 e que dim(Wcap U)=1. A pergunta é: qual a dimensão de W+U? Para isso, vamos usar a fórmula de dimensão da soma de subespaços.

Passo 2

A fórmula geral é
dim(W+U) ;=;dim W + dim U ;-;dim(Wcap U)
Substituindo os valores dados,
dim(W+U) ;=;3 + 3 - 1 ;=;5

Passo 3

Mas W+U é subespaço de R^4, cujo dimensão máxima é 4. Logo não faz sentido ter dim(W+U)=5. Isso mostra que não existe par de subespaços W,UsubsetR^4 com dim W=dim U=3 e dim(Wcap U)=1.

Resposta

A configuração dada é impossível em R^4, pois levaria a dim(W+U)=5>4.

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