Verificar que não são subespaços vetoriais do R^2 : Em cada caso quais axiomas não se verificam?
(x, y) in R^2 mid x y+x in Q

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
S = (x,y)in R^2 mid x y + x in Q
não é subespaço de R^2. Para isso vamos verificar os três axiomas principais de subespaço vetorial:
  1. existência do vetor zero em S,
  2. fechamento de S sob soma de vetores,
  3. fechamento de S sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0):
0cdot 0 + 0 = 0 in Q,
logo (0,0)in S. O primeiro axioma (existência do elemento neutro) está satisfeito.

Passo 3

Vamos checar fechamento sob soma. Tomemos o vetor
v = l(raiz2,,-1r)
Calculamos
raiz2cdot(-1) + raiz2 = -raiz2 + raiz2 = 0 in Q,
então vin S. Agora v+v = (2raiz2,,-2). Para este somatório:
(2raiz2)(-2) + 2raiz2 = -4raiz2 + 2raiz2 = -2raiz2notin Q
Portanto v+vnotin S e o conjunto não é fechado sob soma de vetores. O segundo axioma falha.

Passo 4

Agora o fechamento sob multiplicação escalar. Usamos o mesmo v=(raiz2,-1)in S e o escalar lambda=raiz2. Então
lambda v = l(2,,-raiz2r),
e
2cdot(-raiz2) + 2 = -2raiz2 + 2 notin Q,
logo lambda vnotin S. Falha também o terceiro axioma.

Resposta

O conjunto não é subespaço porque não é fechado nem sob soma de vetores nem sob multiplicação escalar.

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