Verificar que não são subespaços vetoriais do
: Em cada caso quais axiomas não se verificam?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
não é subespaço de
. Para isso vamos verificar os três axiomas principais de subespaço vetorial:
- existência do vetor zero em
, - fechamento de
sob soma de vetores, - fechamento de
sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero
:
logo
. O primeiro axioma (existência do elemento neutro) está satisfeito.
Passo 3
Vamos checar fechamento sob soma. Tomemos o vetor
Calculamos
então
. Agora
. Para este somatório:
Portanto
e o conjunto não é fechado sob soma de vetores. O segundo axioma falha.
Passo 4
Agora o fechamento sob multiplicação escalar. Usamos o mesmo
e o escalar
. Então
e
logo
. Falha também o terceiro axioma.
Resposta
O conjunto não é subespaço porque não é fechado nem sob soma de vetores nem sob multiplicação escalar.