Um dardo é lançado em um alvo circular de forma que ele caia aleatoriamente sobre a área do alvo. Qual é a probabilidade de ele cair mais perto do centro do que da borda?
Passo 1
Resumo da questão: Um dardo cai de forma totalmente aleatória sobre um alvo circular de raio
. A pergunta é: qual a probabilidade de ele ficar mais perto do centro do que da borda?
Conteúdo da matéria: probabilidade geométrica (distribuição uniforme em área).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: probabilidade geométrica (distribuição uniforme em área).
O que vamos precisar:
- Entender que, em lançamento uniforme, a chance de cair numa certa região é a razão entre a área dessa região e a área total.
- Traduzir “mais perto do centro do que da borda” numa desigualdade envolvendo a distância
ao centro.
Passo 2
Definindo variáveis:
- Seja
o raio do alvo. - Seja
a distância do ponto onde o dardo cai até o centro.
A condição “mais perto do centro do que da borda” significa:
distância ao centro distância até a borda.
Ou seja:
distância ao centro
Ou seja:
Agora é só resolver essa desigualdade:
Passo 3
Como a queda é uniforme, a probabilidade de
estar em
é a razão entre:
- área do círculo de raio
, que é , - e área do círculo de raio
, que é .
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