Um dardo é lançado em um alvo circular de forma que ele caia aleatoriamente sobre a área do alvo. Qual é a probabilidade de ele cair mais perto do centro do que da borda?

Passo 1

Resumo da questão: Um dardo cai de forma totalmente aleatória sobre um alvo circular de raio . A pergunta é: qual a probabilidade de ele ficar mais perto do centro do que da borda?
Conteúdo da matéria: probabilidade geométrica (distribuição uniforme em área).
O que vamos precisar:
  • Entender que, em lançamento uniforme, a chance de cair numa certa região é a razão entre a área dessa região e a área total.
  • Traduzir “mais perto do centro do que da borda” numa desigualdade envolvendo a distância ao centro.

Passo 2

Definindo variáveis:
  • Seja r < (R - r) o raio do alvo.
  • Seja r < R - r Longrightarrow 2r < R Longrightarrow r < R2 a distância do ponto onde o dardo cai até o centro.
A condição “mais perto do centro do que da borda” significa:
distância ao centro distância até a borda.
Ou seja:
Agora é só resolver essa desigualdade:

Passo 3

Como a queda é uniforme, a probabilidade de Pl(r < tfracR2r) = pi l(tfracR2r)^2pi R^2 = pi ,tfracR^24pi R^2 = 14 estar em é a razão entre:
  • área do círculo de raio , que é ,
  • e área do círculo de raio , que é .
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Resposta

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