Use a fórmula de de Moivre (Seção 8) para deduzir as seguintes identidades trigonométricas.
cos 3 theta=cos ^3 theta-3 cos theta sen^2 theta;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a fórmula de De Moivre. O que a questão pede é para mostrar que cos 3theta = cos^3 theta - 3 cos theta sin^2 theta partindo da fórmula de De Moivre. Para isso, vamos precisar saber o que é a fórmula de De Moivre e como expandir expressões com potências de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de De Moivre. Ela diz que para qualquer número complexo na forma cos theta + i sin theta, elevando esse número à potência n, temos:
(cos theta + i sin theta)^n = cos(ntheta) + i sin(ntheta)

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar cos 3theta. Então, vamos definir n = 3 na fórmula de De Moivre:
(cos theta + i sin theta)^3 = cos(3theta) + i sin(3theta)

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação usando a propriedade de binômio. Ou seja, vamos calcular (cos theta + i sin theta)^3:
(cos theta + i sin theta)^3 = cos^3 theta + 3 cos^2 theta (i sin theta) + 3 cos theta (i sin theta)^2 + (i sin theta)^3

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. cos^3 theta permanece igual.
  2. 3 cos^2 theta (i sin theta) = 3 i cos^2 theta sin theta
  3. 3 cos theta (i sin theta)^2 = 3 cos theta (i^2 sin^2 theta) = 3 cos theta (-1) sin^2 theta = -3 cos theta sin^2 theta
  4. (i sin theta)^3 = i^3 sin^3 theta = -i sin^3 theta
Então, temos:
cos^3 theta + 3 i cos^2 theta sin theta - 3 cos theta sin^2 theta - i sin^3 theta

Passo 6

Vamos separar as partes reais e imaginárias:
  • Parte real: cos^3 theta - 3 cos theta sin^2 theta
  • Parte imaginária: 3 cos^2 theta sin theta - sin^3 theta
De acordo com a fórmula de De Moivre, a parte real é igual a cos(3theta). Portanto:
cos(3theta) = cos^3 theta - 3 cos theta sin^2 theta

Resposta

A identidade trigonométrica deduzida é:
cos 3theta = cos^3 theta - 3 cos theta sin^2 theta

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