Use a fórmula de de Moivre (Seção 8) para deduzir as seguintes identidades trigonométricas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a fórmula de De Moivre. O que a questão pede é para mostrar que
partindo da fórmula de De Moivre. Para isso, vamos precisar saber o que é a fórmula de De Moivre e como expandir expressões com potências de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de De Moivre. Ela diz que para qualquer número complexo na forma
, elevando esse número à potência
, temos:
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar
. Então, vamos definir
na fórmula de De Moivre:
Passo 4
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação usando a propriedade de binômio. Ou seja, vamos calcular
:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
-
permanece igual. -
-
-
Então, temos:
Passo 6
Vamos separar as partes reais e imaginárias:
- Parte real:
- Parte imaginária:
De acordo com a fórmula de De Moivre, a parte real é igual a
. Portanto:
Resposta
A identidade trigonométrica deduzida é: