(David H. McIntyre) Normalize o vetor |\psi\rangle=C(1|+\rangle+2 i|-\rangle), onde o complexo C é conhecido como constante de normalização:

Passo 1

O enunciado nos dá o estado quântico
|\psi\rangle = C\bigl(1\,|+\rangle + 2\,i\,|-\rangle\bigr)
e pede para encontrar a constante de normalização C de modo que \langle\psi|\psi\rangle = 1. O conteúdo é normalização de vetores em espaços de Hilbert, usando produto interno e ortonormalidade da base \{|+\rangle,|-\rangle\}.

Passo 2

Vamos calcular o quadrado da norma do vetor não normalizado
|\varphi\rangle = 1\,|+\rangle + 2\,i\,|-\rangle.
Como \{|+\rangle,|-\rangle\} é ortonormal, temos
\langle\varphi|\varphi\rangle = \bigl\langle 1\,|+\rangle + 2\,i\,|-\rangle \bigr|\bigl.1\,|+\rangle + 2\,i\,|-\rangle \bigr\rangle = |1|^2 + |2\,i|^2 = 1 + 4 = 5.

Passo 3

A norma de |\psi\rangle = C\,|\varphi\rangle é
\langle\psi|\psi\rangle = |C|^2\,\langle\varphi|\varphi\rangle = |C|^2 \times 5.
Para normalizar, exigimos \langle\psi|\psi\rangle = 1, ou seja
|C|^2 \,5 = 1.

Passo 4

Resolvendo para |C|, temos
|C|^2 = \frac{1}{5} \quad\Longrightarrow\quad |C| = \frac{1}{\sqrt{5}}.
Como o fator de fase global é irrelevante, podemos escolher C real e positivo:
C = \frac{1}{\sqrt{5}}.

Resposta

C = \frac{1}{\sqrt{5}},
portanto o vetor normalizado é
|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{5}}\bigl(|+\rangle + 2\,i\,|-\rangle\bigr).

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