(David H. Mclntyre) Considere o vetor estado |\psi\rangle=3|+\rangle+4|-\rangle. Normalize esse estado e encontre a probabilidade de medir o componente do spin ao longo do eixo z,
\text { onde: } S_{2}= \pm \frac{1}{2} \cdot \hbar

Passo 1

O enunciado nos dá um estado de spin- 1/2 no eixo z \lvert \psi \rangle = 3\lvert +\rangle + 4\lvert -\rangle
e pede (a) normalizar esse estado e (b) encontrar as probabilidades de medir o componente S_{z}=\pm\frac{\hbar}{2}. Para isso usaremos que \{\lvert +\rangle,\lvert -\rangle\} é base ortonormal e que a probabilidade de um resultado é o módulo quadrado do coeficiente correspondente no estado normalizado.

Passo 2

Calculamos o quadrado da norma de \lvert \psi \rangle:
\langle \psi \mid \psi \rangle = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25.

Passo 3

O fator de normalização é 1/\sqrt{25}=1/5. Logo o estado normalizado é
\lvert \psi_{\text{norm}}\rangle = \frac{1}{5}\bigl(3\lvert +\rangle + 4\lvert -\rangle\bigr) = \frac{3}{5}\lvert +\rangle + \frac{4}{5}\lvert -\rangle.

Passo 4

Identificamos os coeficientes das componentes \lvert +\rangle e \lvert -\rangle:
c_{+} = \frac{3}{5}, \quad c_{-} = \frac{4}{5}.

Passo 5

A probabilidade de medir S_{z}=+\tfrac{\hbar}{2} é \lvert c_{+}\rvert^{2} e de medir S_{z}=-\tfrac{\hbar}{2} é \lvert c_{-}\rvert^{2}. Assim,
P\bigl(S_{z}=+\tfrac{\hbar}{2}\bigr) = \Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{2} = \frac{9}{25}, \quad P\bigl(S_{z}=-\tfrac{\hbar}{2}\bigr) = \Bigl(\frac{4}{5}\Bigr)^{2} = \frac{16}{25}.

Resposta

O estado normalizado é
\lvert \psi_{\text{norm}}\rangle = \frac{3}{5}\lvert +\rangle + \frac{4}{5}\lvert -\rangle.
As probabilidades são
P\bigl(S_{z}=+\tfrac{\hbar}{2}\bigr)=\frac{9}{25}, \quad P\bigl(S_{z}=-\tfrac{\hbar}{2}\bigr)=\frac{16}{25}.

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