Considere um sistema quàntico genérico, qualquer, que possa ser medido em três autoestados possiveis: |1\rangle,|2\rangle e |3\rangle. Uma grandeza genérica, T, cujo operador genérico é \widehat{T}, pode ter três valores medidos possíveis, cada um deles associado, respectivamente, ao sistema em um dos autoestados. Chamaremos esses valores de \alpha, \beta e \gamma. Suponha que o sistema esteja em um estado |\Psi\rangle tal que a probabilidade da medida de T resultar em \alpha é duas vezes maior que resultar em \beta ou y (cujas probabilidades são iguais). Sabendo disso, faça o que se pede (se necessário, reveja o exemplo com sistema de spin do elétron):
a. Escreva o vetor de estado |\dot{\Psi}\rangle para a condição dada do sistema.
b. Determine a matriz do operador, sabendo que ela é quadrada de ordem 3.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema quântico de três níveis, cujos autoestados de um observável T são \lvert1\rangle,\lvert2\rangle,\lvert3\rangle com respectivos autovalores \alpha,\beta,\gamma. Ele pede (a) o vetor de estado \lvert\Psi\rangle cuja probabilidade de medir \alpha é duas vezes maior do que medir \beta ou \gamma (essas últimas iguais entre si) e (b) a matriz de \widehat{T} nessa base.
Como \lvert1\rangle,\lvert2\rangle,\lvert3\rangle são autoestados de \widehat{T}, a matriz de \widehat{T} nessa base é diagonal, com os autovalores na diagonal principal. Em forma de operador: