Considere um sistema quàntico genérico, qualquer, que possa ser medido em três autoestados possiveis: |1\rangle,|2\rangle e |3\rangle. Uma grandeza genérica, T, cujo operador genérico é \widehat{T}, pode ter três valores medidos possíveis, cada um deles associado, respectivamente, ao sistema em um dos autoestados. Chamaremos esses valores de \alpha, \beta e \gamma. Suponha que o sistema esteja em um estado |\Psi\rangle tal que a probabilidade da medida de T resultar em \alpha é duas vezes maior que resultar em \beta ou y (cujas probabilidades são iguais). Sabendo disso, faça o que se pede (se necessário, reveja o exemplo com sistema de spin do elétron):
a. Escreva o vetor de estado |\dot{\Psi}\rangle para a condição dada do sistema.
b. Determine a matriz do operador, sabendo que ela é quadrada de ordem 3.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema quântico de três níveis, cujos autoestados de um observável T são \lvert1\rangle,\lvert2\rangle,\lvert3\rangle com respectivos autovalores \alpha,\beta,\gamma. Ele pede (a) o vetor de estado \lvert\Psi\rangle cuja probabilidade de medir \alpha é duas vezes maior do que medir \beta ou \gamma (essas últimas iguais entre si) e (b) a matriz de \widehat{T} nessa base.

Passo 2

Sejam
P(\beta)=P(\gamma)=p \quad\text{e}\quad P(\alpha)=2p.
Como a soma das probabilidades vale 1, temos
2p + p + p = 1 \quad\Longrightarrow\quad 4p = 1 \quad\Longrightarrow\quad p = \tfrac14.
Logo
P(\alpha)=\tfrac12, \quad P(\beta)=\tfrac14, \quad P(\gamma)=\tfrac14.

Passo 3

Num sistema de base ortonormal \{\lvert1\rangle,\lvert2\rangle,\lvert3\rangle\}, escrevemos
\lvert\Psi\rangle = c_1\lvert1\rangle + c_2\lvert2\rangle + c_3\lvert3\rangle,
com \lvert c_i\rvert^2 = P_i. Escolhendo os coeficientes reais e positivos mais simples, temos
c_1 = \sqrt{\tfrac12} = \tfrac1{\sqrt2}, \quad c_2 = c_3 = \sqrt{\tfrac14} = \tfrac12.

Passo 4

Portanto, o vetor de estado normalizado que satisfaz as condições de probabilidade é
\lvert\Psi\rangle = \frac1{\sqrt2}\,\lvert1\rangle + \frac12\,\lvert2\rangle + \frac12\,\lvert3\rangle.

Passo 5

Como \lvert1\rangle,\lvert2\rangle,\lvert3\rangle são autoestados de \widehat{T}, a matriz de \widehat{T} nessa base é diagonal, com os autovalores na diagonal principal. Em forma de operador:
\widehat{T} = \alpha\,\lvert1\rangle\langle1\rvert + \beta\,\lvert2\rangle\langle2\rvert + \gamma\,\lvert3\rangle\langle3\rvert.
Em representação matricial,
\widehat{T} = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0\\\\ 0 & \beta & 0\\\\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix}.

Resposta

a. \displaystyle \lvert\Psi\rangle = \frac1{\sqrt2}\,\lvert1\rangle + \frac12\,\lvert2\rangle + \frac12\,\lvert3\rangle.
b. \displaystyle \widehat{T} = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0\\\\ 0 & \beta & 0\\\\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix}.

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