Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada de $ 3^{\sin(x)} $. O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia e propriedades de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais com expoentes que são funções de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que derivar uma função exponencial do tipo $ a^{u(x)} $ requer o uso da regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que precisamos multiplicar a derivada da função exponencial pela derivada do expoente.
Passo 3
Vamos reescrever $ 3^{\sin(x)} $ de uma forma que seja mais fácil de derivar usando a base $ e $. Sabemos que $ a^b = e^{b \ln(a)} $, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ e^{\sin(x) \ln(3)} $. A derivada de $ e^{u(x)} $ em relação a $ x $ é $ e^{u(x)} \cdot u’(x) $. Aqui, $ u(x) = \sin(x) \ln(3) $.
Passo 5
Vamos encontrar $ u’(x) $, que é a derivada de $ \sin(x) \ln(3) $. Como $ \ln(3) $ é uma constante, a derivada é:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Lembrando que $ e^{\sin(x) \ln(3)} $ é igual a $ 3^{\sin(x)} $, podemos substituir de volta:
Resposta
A derivada de $ 3^{\sin(x)} $ em relação a $ x $ é: