dd x(3^sin (x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de $ 3^{\sin(x)} $. O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia e propriedades de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais com expoentes que são funções de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que derivar uma função exponencial do tipo $ a^{u(x)} $ requer o uso da regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que precisamos multiplicar a derivada da função exponencial pela derivada do expoente.

Passo 3

Vamos reescrever $ 3^{\sin(x)} $ de uma forma que seja mais fácil de derivar usando a base $ e $. Sabemos que $ a^b = e^{b \ln(a)} $, então:
3^sin(x)

Passo 4

Agora, vamos derivar $ e^{\sin(x) \ln(3)} $. A derivada de $ e^{u(x)} $ em relação a $ x $ é $ e^{u(x)} \cdot u’(x) $. Aqui, $ u(x) = \sin(x) \ln(3) $.

Passo 5

Vamos encontrar $ u’(x) $, que é a derivada de $ \sin(x) \ln(3) $. Como $ \ln(3) $ é uma constante, a derivada é:
u'(x)

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia:
ddx ( e^sin(x) ln(3) ) = e^sin(x) ln(3) cdot cos(x) ln(3)

Passo 7

Lembrando que $ e^{\sin(x) \ln(3)} $ é igual a $ 3^{\sin(x)} $, podemos substituir de volta:
e^sin(x) ln(3)

Resposta

A derivada de $ 3^{\sin(x)} $ em relação a $ x $ é:
3^sin(x)

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