Encontre a solução geral
das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y’ - 2y = 4 - x $. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que é uma ferramenta que facilita encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, podemos reescrever $ y’ - 2y = 4 - x $ como:
Aqui, identificamos que:
- $ P(x) = -2 $
- $ Q(x) = 4 - x $
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante ($ \mu(x) $). Ele é dado por:
Substituindo $ P(x) = -2 $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para transformar a equação em uma forma que permite integração direta:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
Do lado esquerdo, a integral é simplesmente $ e^{-2x}y $. Do lado direito, precisamos resolver a integral:
Vamos resolver essa integral por partes.
Passo 6
Resolvendo a integral por partes:
Decomponha $ \int (4 - x)e^{-2x} , dx $ em duas partes:
Calculando cada integral:
- $ 4\int e^{-2x} , dx = 4 \left( -\frac{1}{2}e^{-2x} \right) = -2e^{-2x} $
- Para $ \int x e^{-2x} , dx $, use integração por partes:
- Seja $ u = x $ e $ dv = e^{-2x} dx $
- Então, $ du = dx $ e $ v = -\frac{1}{2}e^{-2x} $
- Aplicando a fórmula $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Então, combinando as duas partes:
Resposta
Voltando à equação:
Multiplicando ambos os lados por $ e^{2x} $ para isolar $ y $:
Então, a solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é a constante de integração.