Encontre a solução geral y=y(x) das equações diferenciais abaixo:
y^prime-2 y=4-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y’ - 2y = 4 - x $. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que é uma ferramenta que facilita encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, podemos reescrever $ y’ - 2y = 4 - x $ como:
y' - 2y = 4 - x
Aqui, identificamos que:
  • $ P(x) = -2 $
  • $ Q(x) = 4 - x $

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ($ \mu(x) $). Ele é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -2 $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para transformar a equação em uma forma que permite integração direta:
e^-2xy' + e^-2x(-2)y = (4 - x)e^-2x
Isso simplifica para:
ddx( e^-2xy ) = (4 - x)e^-2x

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
x
Do lado esquerdo, a integral é simplesmente $ e^{-2x}y $. Do lado direito, precisamos resolver a integral:
integral ddx( e^-2xy ) , dx = integral (4 - x)e^-2x , dx
Vamos resolver essa integral por partes.

Passo 6

Resolvendo a integral por partes:
Decomponha $ \int (4 - x)e^{-2x} , dx $ em duas partes:
integral (4 - x)e^-2x , dx
Calculando cada integral:
  1. $ 4\int e^{-2x} , dx = 4 \left( -\frac{1}{2}e^{-2x} \right) = -2e^{-2x} $
  2. Para $ \int x e^{-2x} , dx $, use integração por partes:
    • Seja $ u = x $ e $ dv = e^{-2x} dx $
    • Então, $ du = dx $ e $ v = -\frac{1}{2}e^{-2x} $
    • Aplicando a fórmula $ \int u , dv = uv - \int v , du $: 4integral e^-2x , dx - integral x e^-2x , dx
Então, combinando as duas partes:
4integral e^-2x , dx = 4 ( -12e^-2x ) = -2e^-2x

Resposta

Voltando à equação:
e^-2xy = -12xe^-2x - 94e^-2x + C
Multiplicando ambos os lados por $ e^{2x} $ para isolar $ y $:
e^2x
Então, a solução geral da equação diferencial é:
y
onde $ C $ é a constante de integração.

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