Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime + 4 y^prime + 4 y = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, a gente forma a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos $ y^{\prime \prime} $ por $ r^2 $, $ y^{\prime} $ por $ r $ e $ y $ por 1. Assim, a equação característica fica:
y^prime prime

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r
Onde $ a = 1 $, $ b = 4 $ e $ c = 4 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos uma raiz dupla em $ r = -2 $.

Passo 4

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = (C1 + C2 x)e^r x
Substituindo $ r = -2 $:
r = -2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x)e^-2x

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