Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, a gente forma a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos $ y^{\prime \prime} $ por $ r^2 $, $ y^{\prime} $ por $ r $ e $ y $ por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 4 $ e $ c = 4 $. Substituindo:
Então, temos uma raiz dupla em $ r = -2 $.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo $ r = -2 $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: