ddag>=r Para um caminho gamma(t) para t in[a, b] dado, a função comprimento de arco a partir de gamma(a), denotada por s(t), é definida por
s(t)=integrala^t|gamma^prime(t)| d t
e fornece, para cada t in[a, b], a distância sobre gamma entre gamma(a) e gamma(t). Encontre a função comprimento de arco a partir de gamma(0) para as curvas alpha(t)=(cosh t, sinh t, t), beta(t)=(cos t, sen t, t), e gamma(t)=(cos (t / raiz2), sen(t / raiz2), t / raiz2).

Passo 1

Estamos calculando o comprimento de arco a partir de t=0 para três curvas em R^3. O que precisamos: a definição s(t)=integral0^t|gamma'(u)|,du, derivar cada curva, achar a norma da derivada e integrar de 0 até t.

Passo 2

Para alpha(t)=(cosh t,sinh t,t), temos alpha'(t)=(sinh t,cosh t,1). A norma ao quadrado é
|alpha'(t)|^2=(sinh t)^2+(cosh t)^2+1=2sinh^2 t+2=2cosh^2 t,
então |alpha'(t)|=raiz2,cosh t. Logo
salpha(t)=integral0^traiz2,cosh u,du=raiz2,sinh t

Passo 3

Para beta(t)=(cos t,sin t,t), derivamos e achamos beta'(t)=(-sin t,cos t,1). A norma é
|beta'(t)|=raizsin^2t+cos^2t+1=raiz2
Integrando,
sbeta(t)=integral0^traiz2,du=raiz2,t

Passo 4

Para gamma(t)=(cos(t/raiz2),sin(t/raiz2),t/raiz2), temos
gamma'(t)=(-tfrac1raiz2sin(t/raiz2),tfrac1raiz2cos(t/raiz2),tfrac1raiz2).
A norma ao quadrado é
|gamma'(t)|^2=tfrac12(sin^2(t/raiz2)+cos^2(t/raiz2)+1)=1,
dando |gamma'(t)|=1. Então
sgamma(t)=integral0^t1,du=t

Resposta

Para alpha: salpha(t)=raiz2,sinh t; para beta: sbeta(t)=raiz2,t; para gamma: sgamma(t)=t.

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