Para um caminho para dado, a função comprimento de arco a partir de , denotada por , é definida por
e fornece, para cada t in[a, b], a distância sobre gamma entre gamma(a) e gamma(t). Encontre a função comprimento de arco a partir de gamma(0) para as curvas alpha(t)=(cosh t, sinh t, t), beta(t)=(cos t, sen t, t), e gamma(t)=(cos (t / raiz2), sen(t / raiz2), t / raiz2).
Passo 1
Estamos calculando o comprimento de arco a partir de t=0 para três curvas em R^3. O que precisamos: a definição s(t)=integral0^t|gamma'(u)|,du, derivar cada curva, achar a norma da derivada e integrar de 0 até t.
Passo 2
Para alpha(t)=(cosh t,sinh t,t), temos alpha'(t)=(sinh t,cosh t,1). A norma ao quadrado é
Para beta(t)=(cos t,sin t,t), derivamos e achamos beta'(t)=(-sin t,cos t,1). A norma é
|beta'(t)|=raizsin^2t+cos^2t+1=raiz2
Integrando,
sbeta(t)=integral0^traiz2,du=raiz2,t
Passo 4
Para gamma(t)=(cos(t/raiz2),sin(t/raiz2),t/raiz2), temos gamma'(t)=(-tfrac1raiz2sin(t/raiz2),tfrac1raiz2cos(t/raiz2),tfrac1raiz2).
A norma ao quadrado é