Um caminho
está parametrizado pelo comprimento de arco se
. (a) Para um caminho parametrizado pelo comprimento de arco em
, mostre que o comprimento de
é
. (b) A curvatura de uma curva
em um ponto
é definida por
quando o caminho está parametrizado pelo comprimento de arco. Mostre que
. © Se
é dado em termos de algum outro parâmetro
e
nunca é zero, mostre que
[Dica:Ver Stewart vol.2.] (d) Calcule a curvatura da hélice
.
Passo 1
O enunciado pede (a) mostrar que, quando uma curva σ(s) está parametrizada pelo comprimento de arco em [a,b], seu comprimento é L(σ)=b−a; (b) provar que a curvatura κ definida por κ=∥T′(s)∥ coincide com ∥σ″(s)∥; © derivar a fórmula κ=∥σ′(t)×σ″(t)∥/∥σ′(t)∥³ para parametrização genérica σ(t); e (d) calcular a curvatura da hélice γ(t)=(1/√2)(cos t, sin t, t). Vamos usar as definições de comprimento de arco, vetor tangente unitário e operação vetorial.
Passo 2
Para (a), lembramos que o comprimento de uma curva σ(s) é dado por
Como estamos em parametrização pelo comprimento de arco, temos
|σ'(s)|=1 . Logo
como queríamos.
Passo 3
No item (b), definimos o vetor tangente unitário como
T(s)=σ'(s) . A curvatura é dada por
κ=|T'(s)| . Mas como
T'(s)=σ''(s) , segue imediatamente
Passo 4
Para ©, seja σ(t) uma parametrização genérica e defina o comprimento de arco s por
ds/dt=|σ'(t)| . O vetor tangente unitário é
Então
Calculando o numerador e usando identidades vetoriais (ou derivando e reorganizando), obtém‐se
Passo 5
No item (d), para a hélice
temos
Note que
portanto é arco‐parametrização e
Resposta
(a)
L(σ)=b-a . (b)
κ=|σ''(s)| . ©
κ=|σ'(t)timesσ''(t)|/|σ'(t)|^3 . (d)
κ=1/raiz2 .