ddag>=r Um caminho sigma está parametrizado pelo comprimento de arco se [a, b]. (a) Para um caminho parametrizado pelo comprimento de arco em sigma, mostre que o comprimento de L(sigma)=b-a é sigma. (b) A curvatura de uma curva sigma(s) em um ponto sigma é definida por t quando o caminho está parametrizado pelo comprimento de arco. Mostre que sigma(t). © Se kappa=|sigma^prime(t) times sigma^prime prime(t)| /|sigma^prime(t)|^3 é dado em termos de algum outro parâmetro gamma(t)=(1 / raiz2)(cos t, sin t, t) e nunca é zero, mostre que
[Dica:Ver Stewart vol.2.] (d) Calcule a curvatura da hélice .

Passo 1

O enunciado pede (a) mostrar que, quando uma curva σ(s) está parametrizada pelo comprimento de arco em [a,b], seu comprimento é L(σ)=b−a; (b) provar que a curvatura κ definida por κ=∥T′(s)∥ coincide com ∥σ″(s)∥; © derivar a fórmula κ=∥σ′(t)×σ″(t)∥/∥σ′(t)∥³ para parametrização genérica σ(t); e (d) calcular a curvatura da hélice γ(t)=(1/√2)(cos t, sin t, t). Vamos usar as definições de comprimento de arco, vetor tangente unitário e operação vetorial.

Passo 2

Para (a), lembramos que o comprimento de uma curva σ(s) é dado por
L(σ)=integrala^b|σ'(s)|,ds
Como estamos em parametrização pelo comprimento de arco, temos |σ'(s)|=1. Logo
L(σ)=integrala^b1,ds=b-a,
como queríamos.

Passo 3

No item (b), definimos o vetor tangente unitário como T(s)=σ'(s). A curvatura é dada por κ=|T'(s)|. Mas como T'(s)=σ''(s), segue imediatamente
κ=|σ''(s)|

Passo 4

Para ©, seja σ(t) uma parametrização genérica e defina o comprimento de arco s por ds/dt=|σ'(t)|. O vetor tangente unitário é
T=σ'|σ'|
Então
dTds=dT/dtds/dt =1|σ'|ddtl(σ'|σ'|r)
Calculando o numerador e usando identidades vetoriais (ou derivando e reorganizando), obtém‐se
κ=l|dTdsr| =|σ'timesσ''||σ'|^3

Passo 5

No item (d), para a hélice
γ(t)=1raiz2(cos t,,sin t,,t)
temos
γ'(t)=1raiz2(-sin t,,cos t,,1),
γ''(t)=1raiz2(-cos t,,-sin t,,0)
Note que
|γ'(t)|=1raiz2raizsin^2t+cos^2t+1=1
portanto é arco‐parametrização e
κ=|γ''(t)|=1raiz2

Resposta

(a) L(σ)=b-a. (b) κ=|σ''(s)|. © κ=|σ'(t)timesσ''(t)|/|σ'(t)|^3. (d) κ=1/raiz2.

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