Use a integral de linha (
)
para calcular a área da região interior a curva
dada por
.
Passo 1
Resumo do problema: a curva γ é dada por x(t)=a cos³t e y(t)=a sen³t para 0≤t≤2π. Precisamos usar a fórmula de área via integral de linha
essa parametrização.
Passo 2
Vamos calcular dx e dy em função de t. Como x(t)=a cos³t temos
e como y(t)=a sen³t
Passo 3
Substituímos na integral de linha para obter o integrando:
Isso dá
pois
Passo 4
Agora a área é
Usamos a identidade
e então
Passo 5
Substituindo de volta, obtemos