Use a integral de linha ( 1 / 2 ) integralgamma x d y-y d x para calcular a área da região interior a curva gamma dada por x(t)=a cos ^3 t, y(t)=a sen^3 t ; 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Resumo do problema: a curva γ é dada por x(t)=a cos³t e y(t)=a sen³t para 0≤t≤2π. Precisamos usar a fórmula de área via integral de linha
A=tfrac12ointgamma(x,dy - y,dx)
essa parametrização.

Passo 2

Vamos calcular dx e dy em função de t. Como x(t)=a cos³t temos
dx=ddt(acos^3 t),dt=-3acos^2 tsin t,dt
e como y(t)=a sen³t
dy=ddt(asin^3 t),dt=3asin^2 tcos t,dt .

Passo 3

Substituímos na integral de linha para obter o integrando:
x,dy - y,dx = acos^3 tcdot(3asin^2 tcos t),dt - asin^3 tcdot(-3acos^2 tsin t),dt
Isso dá
3a^2(cos^4 tsin^2 t + sin^4 tcos^2 t),dt = 3a^2cos^2 tsin^2 t,dt
pois cos^4 tsin^2 t+sin^4 tcos^2 t=cos^2 tsin^2 t(cos^2 t+sin^2 t)=cos^2 tsin^2 t

Passo 4

Agora a área é
A=tfrac12integral0^2pi3a^2cos^2 tsin^2 t,dt=tfrac3a^22integral0^2picos^2 tsin^2 t,dt
Usamos a identidade
cos^2 tsin^2 t=tfrac14sin^2(2t)=tfrac18(1-cos4t)
e então
integral0^2picos^2 tsin^2 t,dt=integral0^2pitfrac18(1-cos4t),dt=tfrac18cdot2pi=tfracpi4

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
A=tfrac3a^22cdottfracpi4=3pi a^28

Resposta

3pi a^28

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