Seja x[k], com k in N uma sequencia, isto é, x[k]=xk, k in N. Sabendo que
Zx[k]=X(z)=sumk=0^+infty x[k] z^-k
e que
Z^-1X(z)=sumzi Res[X(z) z^k-1, zi]
onde zi são todos os pólos de X(z), use resíduos e a expressão acima para calcular

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos inverter a transformada de Z usando resíduos. Temos
X(z)=z(z+1)(z+2),
e a fórmula de inversão por resíduos
Z^-1X(z)=x[k]=sumziRes[X(z),z^k-1,zi],
onde os polos z_i são os zeros dos denominadores.

Passo 2

Identificamos os polos de X(z):
z+1=0implies z1=-1, z+2=0implies z2=-2

Passo 3

Calculamos os resíduos em cada polo:
Para z=-1:
Res[X(z)z^k-1,,-1] =limzto-1(z+1)z(z+1)(z+2),z^k-1 =limzto-1z^kz+2 =(-1)^k-1+2 =(-1)^k

Passo 4

Para z=-2:
Res[X(z)z^k-1,,-2] =limzto-2(z+2)z(z+1)(z+2),z^k-1 =limzto-2z^kz+1 =(-2)^k-2+1 =-(-2)^k

Passo 5

Somando os resíduos obtemos a sequência:
x[k]=(-1)^k-(-2)^k,
para k\in\mathbb{N}.

Resposta

x[k]=(-1)k-(-2)k

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