Seja
uma curva suave (derivatives of all orders exist). Assuma que
para todo
. O vetor
é tangente a
no ponto
e como
ele é chamado de vetor tangente unitátio. Use a regra do produto (escalar) para derivar
e mostrar que
.
Passo 1
Temos uma curva suave
com
em todo
. Definimos o vetor tangente unitário
e sabemos que
, ou seja,
. Vamos usar a regra do produto escalar para mostrar que
.
Passo 2
Primeiro, derivamos o escalar
. Como
é constante, sua derivada é zero. Assim,
Passo 3
Em seguida, aplicamos a regra do produto escalar:
Pelo teorema da comutatividade do produto escalar, isso é
Passo 4
Igualando essa expressão a zero (pois deriva-se de
), obtemos
e, dividindo por 2, concluímos que