ddag>=r Seja sigma:[a, b] R^3 uma curva suave (derivatives of all orders exist). Assuma que sigma^prime(t) neq 0 para todo t. O vetor sigma é tangente a sigma(t) no ponto |T(t)|=1 e como T(t) cdot T(t)=1 ele é chamado de vetor tangente unitátio. Use a regra do produto (escalar) para derivar T^prime(t) cdot T(t)=0 e mostrar que .

Passo 1

Temos uma curva suave sigma:[a,b]toR^3 com sigma'(t)neq0 em todo t. Definimos o vetor tangente unitário
T(t)=sigma'(t)|sigma'(t)|
e sabemos que |T(t)|=1, ou seja, T(t)cdot T(t)=1. Vamos usar a regra do produto escalar para mostrar que T'(t)cdot T(t)=0.

Passo 2

Primeiro, derivamos o escalar T(t)cdot T(t). Como T(t)cdot T(t)=1 é constante, sua derivada é zero. Assim,
ddtl(T(t)cdot T(t)r)=0

Passo 3

Em seguida, aplicamos a regra do produto escalar:
ddtl(T(t)cdot T(t)r)=T'(t)cdot T(t)+T(t)cdot T'(t)
Pelo teorema da comutatividade do produto escalar, isso é
2l(T'(t)cdot T(t)r)

Passo 4

Igualando essa expressão a zero (pois deriva-se de 1), obtemos
2l(T'(t)cdot T(t)r)=0
e, dividindo por 2, concluímos que
T'(t)cdot T(t)=0

Resposta

T'(t)cdot T(t)=0

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