Sabendo que
Lf(t)=F(s)=integral0^+infty f(t) e^-s t d t
e que
L^-1F(s)=sumzk Res[F(s) e^s t, zk],
onde zk são todos os pólos de F(s), use resíduos e a expressão acima para calcular. Neste exercício, considere a e b constantes reais.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai achar a transformada inversa de Laplace de F(s)=s+b-a(s-a)^2+b^2 usando a fórmula de resíduos. O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace via método dos resíduos, e vamos precisar identificar os polos de F(s) e calcular os respectivos resíduos de F(s)e^st.

Passo 2

Primeiro, a gente encontra os polos de F(s) resolvendo
(s-a)^2 + b^2 = 0
Isso dá
s = a pm i b
ou seja, polos simples em s1 = a + ib e s2 = a - ib.

Passo 3

A seguir, usamos a fórmula de inversão por resíduos:
f(t)=L^-1F(s)=sumk=1^2Resl[F(s)e^st,,skr]

Passo 4

Vamos calcular o resíduo em s1=a+ib:
Resl[F(s)e^st,a+ibr]=limsto a+ib(s-(a+ib))s+b-a(s-a)^2+b^2,e^st

Passo 5

Substituindo s=a+ib e simplificando, obtemos
Res1=e^(a+ib)t(a+ib)+b-a2ib=e^ate^ibtb(1+i)2ib=e^ate^ibt1-i2

Passo 6

Agora o resíduo em s2=a-ib:
Resl[F(s)e^st,a-ibr]=limsto a-ib(s-(a-ib))s+b-a(s-a)^2+b^2,e^st,

Passo 7

que leva a
Res2=e^(a-ib)tb(1-i)-2ib=e^ate^-ibt1+i2

Passo 8

Somando os dois resíduos e usando as identidades de Euler,
f(t)=Res1+Res2=e^atl(e^ibttfrac1-i2+e^-ibttfrac1+i2r)=e^atl(cos(bt)+sin(bt)r)

Resposta

e^atl(cos(bt)+sin(bt)r)

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