Desenhe o gráfico das funções abaixo. Calcule e destaque os pontos críticos e pontos extremos da função, se houver. Identifique, se houver, os pontos de máximo local, mínimo local, pontos de inflexão. Use outras infrmações, se preciso.

Passo 1

Temos a função f(x)=ln(x^4+27). O domínio é R e o conteúdo principal envolve derivadas, monotonia e concavidade para identificar pontos críticos, extremos e de inflexão.

Passo 2

Para achar a derivada, usamos que ddxln(u)=u'/u. Aqui u=x^4+27 e u'=4x^3, logo:
f'(x)=4x^3x^4+27

Passo 3

Os pontos críticos surgem onde f'(x)=0 ou é indefinida. Como x^4+27>0 sempre, basta 4x^3=0, ou seja x=0. Não há outras descontinuidades.

Passo 4

Para classificar, olhamos o sinal de f'(x)=4x^3/(x^4+27). Como o denominador é sempre positivo, o sinal segue x^3:
  • f'<0 em (decrescente)
  • f'>0 em (crescente)
    Logo (0,nînf) é mínimo local, com valor x=0.

Passo 5

Agora a segunda derivada. Aplicando a regra do quociente em f'(x):
f''(x)=4x^2,(81 - x^4)(x^4+27)^2

Passo 6

Pontos de inflexão são onde f''(x)=0 e troca de concavidade. Da expressão, zeros ocorrem em x^2=0 (já visto) ou x^4=81 x=±3.
  • Em x=0 a concavidade não muda (positivo dos dois lados), então não é inflexão.
  • Em x=±3 a concavidade muda de côncava para cima ( |x|<3) para côncava para baixo ( |x|>3), confirmando inflexão nestes pontos, com f(±3)=ln(108).

Passo 7

A função é par (simétrica em relação ao eixo y), decrescente até x=0 e crescente depois, com mínimo local em (0,ln27). Ela é côncava para baixo em e côncava para cima em (-3,3). O esboço tem forma de “V suave” elevando-se infinitamente nas duas pontas.

Passo 8

O gráfico cresce em magnitude de ln(x^4+27) quando , toca o mínimo em +nînf e troca de curvatura em |x|tonînf.

Resposta

Mínimo local: (0, ln27). Não há máximos locais. Pontos de inflexão em (3, ln108) e (-3, ln108). Função decrescente em (-∞,0), crescente em (0,∞); côncava para cima em (-3,3) e côncava para baixo em (-∞,-3) ∪ (3,∞).

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