Desenhe o gráfico das funções abaixo. Calcule e destaque os pontos críticos e pontos extremos da função, se houver. Identifique, se houver, os pontos de máximo local, mínimo local, pontos de inflexão. Use outras infrmações, se preciso.
Passo 1
Temos a função
. O domínio é
e o conteúdo principal envolve derivadas, monotonia e concavidade para identificar pontos críticos, extremos e de inflexão.
Passo 2
Para achar a derivada, usamos que
. Aqui
e
, logo:
Passo 3
Os pontos críticos surgem onde
ou é indefinida. Como
sempre, basta
, ou seja
. Não há outras descontinuidades.
Passo 4
Para classificar, olhamos o sinal de
. Como o denominador é sempre positivo, o sinal segue
:
-
em (decrescente) -
em (crescente)
Logoé mínimo local, com valor .
Passo 5
Agora a segunda derivada. Aplicando a regra do quociente em
:
Passo 6
Pontos de inflexão são onde
e troca de concavidade. Da expressão, zeros ocorrem em
(já visto) ou
→
.
- Em
a concavidade não muda (positivo dos dois lados), então não é inflexão. - Em
a concavidade muda de côncava para cima ( ) para côncava para baixo ( ), confirmando inflexão nestes pontos, com .
Passo 7
A função é par (simétrica em relação ao eixo
), decrescente até
e crescente depois, com mínimo local em
. Ela é côncava para baixo em e côncava para cima em
. O esboço tem forma de “V suave” elevando-se infinitamente nas duas pontas.
Passo 8
O gráfico cresce em magnitude de
→ quando , toca o mínimo em
e troca de curvatura em
.
Resposta
Mínimo local: (0, ln27). Não há máximos locais. Pontos de inflexão em (3, ln108) e (-3, ln108). Função decrescente em (-∞,0), crescente em (0,∞); côncava para cima em (-3,3) e côncava para baixo em (-∞,-3) ∪ (3,∞).