A velocidade cruzeiro de uma barca em relação à água é de 7,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A barca atravessa o rio de 200 m de largura em direção a um ponto na margem oposta, situado diretamente à frente do ponto de partida. A corrente do rio é de 2,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} leste. Quanto tempo leva a barca para fazer a travessia? ( 26,8 \mathrm{~s} )

Passo 1

O enunciado pede o tempo que a barca leva para atravessar o rio. Dados fornecidos:
  • Largura do rio: 200\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade da barca em relação à água (módulo da velocidade relativa água-barca): 7,8\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade da corrente do rio: 2,3\\ \mathrm{m/s} para leste.
  • A barca quer alcançar um ponto na margem oposta situado diretamente à frente do ponto de partida (ou seja, o deslocamento total na direção leste-oeste deve ser zero; a travessia deve ser perpendicular à margem).
O que se pede: calcular o tempo de travessia (quanto tempo leva a barca para ir de uma margem à outra).

Passo 2

Explicando o conceito principal de maneira bem tranquila: a velocidade da barca relativa ao solo (terra) é a soma vetorial da velocidade da barca em relação à água e da velocidade da água (corrente). Em símbolos:
\vec{v}_{\text{terra}}=\vec{v}_{\text{barca/água}}+\vec{v}_{\text{água/terra}}.áá
Aqui:
  • \vec{v}_{\text{barca/água}}á é a velocidade que a barca estabelece em relação à água, de módulo 7,8\\ \mathrm{m/s}.
  • \vec{v}_{\text{água/terra}}á é a velocidade da corrente, de módulo 2,3\\ \mathrm{m/s} para leste.
    Para que a barca atinja um ponto diretamente em frente na margem oposta, a componente horizontal (leste-oeste) da velocidade resultante \vec{v}_{\text{terra}} deve ser zero. Assim, a barca deve apontar um pouco para oeste, de modo que a componente oeste de \vec{v}_{\text{barca/água}}á cancele a componente leste da corrente.

Passo 3

Definimos eixos: eixo y na direção norte-sul (atravessamento, do ponto de partida até o ponto oposto) e eixo x na direção leste-oeste (corrente). Tomando para leste o sinal positivo em x.
Sejam:
v = \text{módulo de }\vec{v}_{\text{barca/água}} = 7,8\\ \mathrm{m/s},óá
u = \text{módulo de }\vec{v}_{\text{água/terra}} = 2,3\\ \mathrm{m/s},óá
v_x = \text{componente em }x\text{ de }\vec{v}_{\text{barca/água}},á
v_y = \text{componente em }y\text{ de }\vec{v}_{\text{barca/água}}.á
Para que a componente horizontal da velocidade sobre o terreno seja zero, precisamos de
v_x + u = 0 \quad\Rightarrow\quad v_x = -u = -2,3\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a barca aponta para oeste com componente 2,3\\ \mathrm{m/s} para cancelar a corrente leste.

Passo 4

Como as componentes v_x e v_y vêm da mesma velocidade de módulo v, vale o teorema de Pitágoras para a decomposição:
v^2 = v_x^2 + v_y^2.
Substituindo v e v_x:
(7,8)^2 = (2,3)^2 + v_y^2.
Agora vamos calcular v_y, que é a componente responsável pelo atravessamento perpendicular (a componente que realmente “leva” a barca de uma margem à outra).

Passo 5

Cálculo numérico das potências (faço passo a passo para você poder reproduzir sem depender só de calculadora):
(7,8)^2 = 7,8 \times 7,8 = 60,84,
(2,3)^2 = 2,3 \times 2,3 = 5,29.
Substituindo:
60,84 = 5,29 + v_y^2 \quad\Rightarrow\quad v_y^2 = 60,84 - 5,29 = 55,55.
Logo
v_y = \sqrt{55,55}.
A raiz quadrada de 55,55 pode ser aproximada manualmente; aqui usamos uma aproximação suficiente para a prova:
v_y \approx 7,45\\ \mathrm{m/s}.
(Se quiser mais precisão, \sqrt{55,55}\approx7,453\ldots.)

Passo 6

Agora lembramos que o tempo para atravessar depende somente da componente perpendicular à margem (a componente v_y), porque essa componente é responsável por cobrir a largura do rio. A largura é 200\\ \mathrm{m}. Assim:
t=\frac{\text{largura}}{v_y}=\frac{200}{v_y}.
Substituindo v_y\approx7,45\\ \mathrm{m/s}:
t\approx\frac{200}{7,45}\approx26,8\\ \mathrm{s}.
Explicando de forma prática: mesmo com a corrente, a barca ajusta seu rumo para cancelar o arraste horizontal; o tempo de travessia é simplesmente a largura dividida pela componente da velocidade que realmente aponta para a outra margem.

Resposta

26,8\\ \mathrm{s}

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