A velocidade cruzeiro de uma barca em relação à água é de
. A barca atravessa o rio de 200 m de largura em direção a um ponto na margem oposta, situado diretamente à frente do ponto de partida. A corrente do rio é de
leste. Quanto tempo leva a barca para fazer a travessia? (
)
Passo 1
O enunciado pede o tempo que a barca leva para atravessar o rio. Dados fornecidos:
- Largura do rio:
. - Velocidade da barca em relação à água (módulo da velocidade relativa água-barca):
. - Velocidade da corrente do rio:
para leste. - A barca quer alcançar um ponto na margem oposta situado diretamente à frente do ponto de partida (ou seja, o deslocamento total na direção leste-oeste deve ser zero; a travessia deve ser perpendicular à margem).
O que se pede: calcular o tempo de travessia (quanto tempo leva a barca para ir de uma margem à outra).
Passo 2
Explicando o conceito principal de maneira bem tranquila: a velocidade da barca relativa ao solo (terra) é a soma vetorial da velocidade da barca em relação à água e da velocidade da água (corrente). Em símbolos:
Aqui:
-
é a velocidade que a barca estabelece em relação à água, de módulo . -
é a velocidade da corrente, de módulo para leste.
Para que a barca atinja um ponto diretamente em frente na margem oposta, a componente horizontal (leste-oeste) da velocidade resultantedeve ser zero. Assim, a barca deve apontar um pouco para oeste, de modo que a componente oeste de cancele a componente leste da corrente.
Passo 3
Definimos eixos: eixo
na direção norte-sul (atravessamento, do ponto de partida até o ponto oposto) e eixo
na direção leste-oeste (corrente). Tomando para leste o sinal positivo em
.
Sejam:
Para que a componente horizontal da velocidade sobre o terreno seja zero, precisamos de
O sinal negativo indica que a barca aponta para oeste com componente
para cancelar a corrente leste.
Passo 4
Como as componentes
e
vêm da mesma velocidade de módulo
, vale o teorema de Pitágoras para a decomposição:
Substituindo
e
:
Agora vamos calcular
, que é a componente responsável pelo atravessamento perpendicular (a componente que realmente “leva” a barca de uma margem à outra).
Passo 5
Cálculo numérico das potências (faço passo a passo para você poder reproduzir sem depender só de calculadora):
Substituindo:
Logo
A raiz quadrada de
pode ser aproximada manualmente; aqui usamos uma aproximação suficiente para a prova:
(Se quiser mais precisão,
.)
Passo 6
Agora lembramos que o tempo para atravessar depende somente da componente perpendicular à margem (a componente
), porque essa componente é responsável por cobrir a largura do rio. A largura é
. Assim:
Substituindo
:
Explicando de forma prática: mesmo com a corrente, a barca ajusta seu rumo para cancelar o arraste horizontal; o tempo de travessia é simplesmente a largura dividida pela componente da velocidade que realmente aponta para a outra margem.