Uma partícula move-se ao longo da parábola y=-k x^{2}, sendo que as coordenadas y e x estão expressas em metro e a constante k é igual a 0,55 \mathrm{~m}^{-1}. O movimento é tal que, em qualquer instante, v_{x}=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para a partícula no ponto x=1,5 \mathrm{~m}, calcule o módulo da velocidade e da aceleração. (5,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ;-9,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s})

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes valores do enunciado):
  • A trajetória é a parábola y=-k x^{2}.
  • A constante é k=0{,}55\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • A componente horizontal da velocidade é sempre v_{x}=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Quer-se o módulo da velocidade e o módulo da aceleração para a partícula no ponto x=1{,}5\\ \mathrm{m}.
As perguntas que devemos responder são, portanto:
  • Qual é o módulo da velocidade |\mathbf{v}| em x=1{,}5\\ \mathrm{m}?
  • Qual é o módulo da aceleração |\mathbf{a}| em x=1{,}5\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Entender como obter as componentes da velocidade quando a partícula se desloca ao longo de uma curva y=y(x).
Definição e ideia prática:
  • A velocidade vetorial é \mathbf{v}=(v_x,v_y), onde v_x=\dfrac{dx}{dt} e v_y=\dfrac{dy}{dt}.
  • Como y é função de x, usa-se a regra da cadeia para escrever
v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Aqui \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x (pendente da curva) e \dfrac{dx}{dt}=v_x.
Aplicando à nossa parábola y=-k x^{2}:
  • A derivada em relação a x é
\frac{dy}{dx}=y'(x)=-2k x.
Portanto, a componente vertical da velocidade é
v_y = y'(x)\,v_x = (-2k x)\,v_x.

Passo 3

Calcular numericamente v_y no ponto x=1{,}5\\ \mathrm{m} usando os valores dados ( k=0{,}55\\ \mathrm{m}^{-1} e v_x=3{,}0\\ \mathrm{m/s}).
Cálculo passo a passo:
v_y = -2k x v_x = -2\cdot(0{,}55)\cdot(1{,}5)\cdot(3{,}0).
Primeiro 2\cdot0{,}55=1{,}1. Depois 1{,}1\cdot1{,}5=1{,}65. Finalmente 1{,}65\cdot3{,}0=4{,}95.
Portanto
v_y = -4{,}95\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular o módulo (valor absoluto) da velocidade |\mathbf{v}|.
Fórmula do módulo de um vetor em duas dimensões:
|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Substituindo v_x=3{,}0\\ \mathrm{m/s} e v_y=-4{,}95\\ \mathrm{m/s}:
|\mathbf{v}|=\sqrt{(3{,}0)^{2}+(-4{,}95)^{2}}=\sqrt{9{,}0+24{,}5025}=\sqrt{33{,}5025}.
Calculando a raiz:
|\mathbf{v}|\approx5{,}79\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora encontrar a aceleração. Definição e estratégia:
  • A aceleração vetorial é \mathbf{a}=(a_x,a_y) com a_x=\dfrac{dv_x}{dt} e a_y=\dfrac{dv_y}{dt}.
  • Aqui v_x é constante ( v_x=3{,}0\\ \mathrm{m/s}), então
a_x=\frac{dv_x}{dt}=0.
  • Para a_y, usamos que v_y=y'(x)\,v_x. Como v_x é constante,
a_y=\frac{dv_y}{dt}=v_x\frac{d}{dt}\bigl(y'(x)\bigr).
Usando regra da cadeia \dfrac{d}{dt}y'(x)=y''(x)\,\dfrac{dx}{dt}=y''(x)\,v_x. Logo
a_y = v_x\bigl(y''(x)\,v_x\bigr)=y''(x)\,v_x^{2}.

Passo 6

Calcular y''(x) e o valor numérico de a_y.
Para y=-k x^{2} temos
y'(x)=-2k x,\qquad y''(x)=-2k.
Assim
a_y = y''(x)\,v_x^{2}=(-2k)\,v_x^{2}.
Substituindo k=0{,}55 e v_x=3{,}0:
a_y = -2\cdot0{,}55\cdot(3{,}0)^{2} = -1{,}1\cdot9 = -9{,}9\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Como a_x=0, o módulo da aceleração é
|\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}=\sqrt{0^{2}+(-9{,}9)^{2}}=9{,}9\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

5{,}79\\ \mathrm{m/s}
9{,}9\\ \mathrm{m/s^{2}}

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