Uma partícula move-se ao longo da parábola
, sendo que as coordenadas
e
estão expressas em metro e a constante
é igual a
. O movimento é tal que, em qualquer instante,
. Para a partícula no ponto
, calcule o módulo da velocidade e da aceleração.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes valores do enunciado):
- A trajetória é a parábola
. - A constante é
. - A componente horizontal da velocidade é sempre
. - Quer-se o módulo da velocidade e o módulo da aceleração para a partícula no ponto
.
As perguntas que devemos responder são, portanto:
- Qual é o módulo da velocidade
em ? - Qual é o módulo da aceleração
em ?
Passo 2
Entender como obter as componentes da velocidade quando a partícula se desloca ao longo de uma curva
.
Definição e ideia prática:
- A velocidade vetorial é
, onde e . - Como
é função de , usa-se a regra da cadeia para escrever
Aqui
é a derivada de
em relação a
(pendente da curva) e
.
Aplicando à nossa parábola
:
- A derivada em relação a
é
Portanto, a componente vertical da velocidade é
Passo 3
Calcular numericamente
no ponto
usando os valores dados (
e
).
Cálculo passo a passo:
Primeiro
. Depois
. Finalmente
.
Portanto
Passo 4
Calcular o módulo (valor absoluto) da velocidade
.
Fórmula do módulo de um vetor em duas dimensões:
Substituindo
e
:
Calculando a raiz:
Passo 5
Agora encontrar a aceleração. Definição e estratégia:
- A aceleração vetorial é
com e . - Aqui
é constante ( ), então
- Para
, usamos que . Como é constante,
Usando regra da cadeia
. Logo
Passo 6
Calcular
e o valor numérico de
.
Para
temos
Assim
Substituindo
e
:
Como
, o módulo da aceleração é