Resolva
\frac{d x}{d t}-x t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dx}{dt} - x\,t = 0.
Este é um caso especial de equação linear na forma
\frac{dx}{dt} + p(t)\,x = 0
com p(t) = -t. Podemos usar fator integrante ou separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Usando fator integrante, calculamos
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int -t\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(-\tfrac{t^2}{2}\Bigr).
Multiplicando a equação original por \mu(t) fica
\exp\Bigl(-\tfrac{t^2}{2}\Bigr)\frac{dx}{dt} - t\,\exp\Bigl(-\tfrac{t^2}{2}\Bigr)x = 0,
que é o mesmo que
\frac{d}{dt}\Bigl(x\,\exp\bigl(-\tfrac{t^2}{2}\bigr)\Bigr)=0.
Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos
x\,\exp\Bigl(-\tfrac{t^2}{2}\Bigr)=C,
onde C é constante de integração.

Resposta

x(t)=C\,\exp\Bigl(\tfrac{t^2}{2}\Bigr),
sendo C uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados