Decaimento radioativo de uma substância é dado por
, onde
é a quantidade de substância radioativa no tempo
e
é a constante de decaimento. Se uma amostra de material radioativo tem 100 g e sua taxa de decaimento é de
, qual será a massa restante após 24 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre decaimento radioativo, que é quando uma substância perde sua radioatividade ao longo do tempo. A fórmula que nos dá isso é
, onde:
-
é a quantidade de substância no tempo , -
é a constante de decaimento.
Aqui, a gente tem uma amostra inicial de 100 gramas e sabe que a taxa de decaimento é de 0,05 g/h. A pergunta é: quanto restará dessa substância depois de 24 horas?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
significa. Ela nos diz que a taxa de variação da quantidade da substância (
) é proporcional à quantidade atual
, com a constante de proporcionalidade sendo
. O sinal negativo indica que a quantidade está diminuindo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que no início (
), temos
g e a taxa de decaimento é
g/h. Vamos usar isso para achar
.
A equação fica:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que temos
, vamos resolver a equação diferencial para encontrar
. A solução geral da equação
é:
Onde
é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Queremos saber quanto resta depois de 24 horas, então
:
Passo 6
Vamos calcular o expoente primeiro:
Então:
Passo 7
Calculando
com uma calculadora ou usando aproximação:
Portanto:
Resposta
Após 24 horas, restarão cerca de 98,8 gramas da substância radioativa.