Decaimento radioativo de uma substância é dado por d Nd t=-lambda N, onde N(t) é a quantidade de substância radioativa no tempo t e lambda é a constante de decaimento. Se uma amostra de material radioativo tem 100 g e sua taxa de decaimento é de 0.05 g / h, qual será a massa restante após 24 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre decaimento radioativo, que é quando uma substância perde sua radioatividade ao longo do tempo. A fórmula que nos dá isso é dNdt = -lambda N, onde:
  • N(t) é a quantidade de substância no tempo t,
  • lambda é a constante de decaimento.
Aqui, a gente tem uma amostra inicial de 100 gramas e sabe que a taxa de decaimento é de 0,05 g/h. A pergunta é: quanto restará dessa substância depois de 24 horas?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação dNdt = -lambda N significa. Ela nos diz que a taxa de variação da quantidade da substância ( dNdt) é proporcional à quantidade atual N, com a constante de proporcionalidade sendo -lambda. O sinal negativo indica que a quantidade está diminuindo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de lambda. Sabemos que no início ( t = 0), temos N(0) = 100 g e a taxa de decaimento é dNdt = -0,05 g/h. Vamos usar isso para achar lambda.
A equação fica:
dNdt = -lambda N Rightarrow -0,05 = -lambda times 100
Resolvendo para lambda:
-0,05 = -100lambda Rightarrow lambda = 0,05100 = 0,0005 , h^-1

Passo 4

Agora que temos lambda = 0,0005, h^-1, vamos resolver a equação diferencial para encontrar N(t). A solução geral da equação dNdt = -lambda N é:
N(t) = N(0) times e^-lambda t
Onde e é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
N(t) = 100 times e^-0,0005 times t
Queremos saber quanto resta depois de 24 horas, então t = 24:
N(24) = 100 times e^-0,0005 times 24

Passo 6

Vamos calcular o expoente primeiro:
-0,0005 times 24 = -0,012
Então:
N(24) = 100 times e^-0,012

Passo 7

Calculando e^-0,012 com uma calculadora ou usando aproximação:
e^-0,012 approx 0,988
Portanto:
N(24) = 100 times 0,988 = 98,8 , g

Resposta

Após 24 horas, restarão cerca de 98,8 gramas da substância radioativa.

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