Determine se a série converge.
sumk=1^infty(1+1k)^-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para determinar se a série sumk=1^infty(1+1k)^-k converge. A gente vai trabalhar com o conteúdo de séries infinitas e vai precisar usar o Teste da Divergência, que nos ajuda a verificar se uma série não converge analisando o limite dos termos gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é (1+1k)^-k. Queremos saber qual é o comportamento desse termo quando k cresce para o infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral:
limk to infty (1+1k)^-k
Sabemos que (1+1k)^k se aproxima de e quando k tende ao infinito. Então:
(1+1k)^-k = 1(1+1k)^k approx 1e
Portanto:
limk to infty (1+1k)^-k = 1e approx 0,3679

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral de uma série não for zero, então a série não converge. No nosso caso, o limite é 1e, que é diferente de zero.

Resposta

A série sumk=1^infty(1+1k)^-k não converge.

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