Velocidade de um objeto em queda livre é dada por
, onde
é a velocidade do objeto no tempo
é a aceleração devida à gravidade,
é o coeficiente de arrasto (ou atrito) e
é a massa do objeto. Se um paraquedista de 70 kg está caindo em queda livre com um coeficiente de arrasto de
, qual será sua velocidade após 5 segundos de queda? Qual a velocidade no limite?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre a velocidade de um paraquedista em queda livre com resistência do ar. Temos que saber calcular a velocidade após 5 segundos de queda e também descobrir qual será a velocidade no limite (ou velocidade terminal). Para isso, vamos usar as equações do movimento com resistência do ar.
Passo 2
A velocidade de um objeto em queda livre com resistência do ar é descrita pela seguinte equação diferencial:
Onde:
- $ v(t) $ é a velocidade no tempo $ t $
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente
) - $ k $ é o coeficiente de arrasto (
) - $ m $ é a massa do objeto (
)
Nosso objetivo é encontrar $ v(t) $, a velocidade em função do tempo.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é de primeira ordem e linear, e pode ser resolvida utilizando métodos de equações diferenciais.
A equação pode ser reescrita como:
Isso facilita a aplicação do método de fator integrante.
Passo 4
Calculamos o fator integrante ($ \mu(t) $):
Multiplicamos toda a equação pela $ \mu(t) $:
O lado esquerdo da equação agora representa a derivada do produto $ v(t) \cdot e^{\frac{k}{m} t} $:
Passo 5
Integrando ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para $ v(t) $:
Para determinar a constante $ C
v(0) = 0 $):
Portanto, a solução geral é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade após 5 segundos de queda:
Substituindo os valores:
- $ m = 70 , kg $
- $ k = 10 , kg/s $
- $ g = 10 , m/s^2 $
Simplificando:
Calculando $ e^{-0,714} \approx 0,489 $:
Passo 8
Para encontrar a velocidade no limite ($ v_{limite} $), observamos o comportamento quando $ t $ tende ao infinito:
Substituindo os valores:
Resposta
Após 5 segundos de queda, a velocidade do paraquedista será aproximadamente
m/s. A velocidade no limite (velocidade terminal) é de
m/s.