Velocidade de um objeto em queda livre é dada por d vd t=g-km v, onde v(t) é a velocidade do objeto no tempo t, g é a aceleração devida à gravidade, k é o coeficiente de arrasto (ou atrito) e m é a massa do objeto. Se um paraquedista de 70 kg está caindo em queda livre com um coeficiente de arrasto de 10 kg / s, qual será sua velocidade após 5 segundos de queda? Qual a velocidade no limite?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a velocidade de um paraquedista em queda livre com resistência do ar. Temos que saber calcular a velocidade após 5 segundos de queda e também descobrir qual será a velocidade no limite (ou velocidade terminal). Para isso, vamos usar as equações do movimento com resistência do ar.

Passo 2

A velocidade de um objeto em queda livre com resistência do ar é descrita pela seguinte equação diferencial:
dvdt = g - km v
Onde:
  • $ v(t) $ é a velocidade no tempo $ t $
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente v(t) )
  • $ k $ é o coeficiente de arrasto ( t )
  • $ m $ é a massa do objeto ( g )
Nosso objetivo é encontrar $ v(t) $, a velocidade em função do tempo.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é de primeira ordem e linear, e pode ser resolvida utilizando métodos de equações diferenciais.
A equação pode ser reescrita como:
dvdt + km v = g
Isso facilita a aplicação do método de fator integrante.

Passo 4

Calculamos o fator integrante ($ \mu(t) $):
mu(t)
Multiplicamos toda a equação pela $ \mu(t) $:
mu(t) = e^integral km dt = e^km t
O lado esquerdo da equação agora representa a derivada do produto $ v(t) \cdot e^{\frac{k}{m} t} $:
mu(t)

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $:
t
Isso resulta em:
integral ddt ( v(t) e^km t ) dt = integral g e^km t dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para $ v(t) $:
v(t)
Para determinar a constante $ C v(t) = g mk + C e^-km t çã v(0) = 0 $):
C
Portanto, a solução geral é:
v(0) = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade após 5 segundos de queda:
Substituindo os valores:
  • $ m = 70 , kg $
  • $ k = 10 , kg/s $
  • $ g = 10 , m/s^2 $
m = 70 , kg
Simplificando:
k = 10 , kg/s
Calculando $ e^{-0,714} \approx 0,489 $:
g = 10 , m/s^2

Passo 8

Para encontrar a velocidade no limite ($ v_{limite} $), observamos o comportamento quando $ t $ tende ao infinito:
vlimite
Substituindo os valores:
t

Resposta

Após 5 segundos de queda, a velocidade do paraquedista será aproximadamente 35,78 m/s. A velocidade no limite (velocidade terminal) é de 70 m/s.

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