O decaimento radioativo também pode ser modelado pelo problema de valor inicial apresentado na primeira questão. Adapte o problema de valor inicial e a equação da solução obtida na primeira questão para representar um modelo de decaimento radioativo.
Passo 1
O exercício pede para adaptar o PVI e a solução exponencial obtida na primeira questão (crescimento proporcional) para o caso de decaimento radioativo. O conteúdo envolvido é equações diferenciais de primeira ordem com taxa proporcional, e precisamos usar separação de variáveis e condição inicial para encontrar a solução.
Passo 2
Para representar decaimento radioativo, trocamos a constante de crescimento
por uma taxa de decaimento
e invertemos o sinal, porque a quantidade diminui com o tempo.
Passo 3
O PVI adaptado fica:
Passo 4
Resolvemos por separação de variáveis:
$$
\int \frac{dN}{N} = -\lambda \int dt \implies \ln\Bigl(\frac{N(t)}{N_0}\Bigr) = -\lambda t $$
Aplicando exponencial e usando , obtemos a forma da solução.
Aplicando exponencial e usando
Resposta
O modelo de decaimento radioativo é
cuja solução é