O decaimento radioativo também pode ser modelado pelo problema de valor inicial apresentado na primeira questão. Adapte o problema de valor inicial e a equação da solução obtida na primeira questão para representar um modelo de decaimento radioativo.

Passo 1

O exercício pede para adaptar o PVI e a solução exponencial obtida na primeira questão (crescimento proporcional) para o caso de decaimento radioativo. O conteúdo envolvido é equações diferenciais de primeira ordem com taxa proporcional, e precisamos usar separação de variáveis e condição inicial para encontrar a solução.

Passo 2

Para representar decaimento radioativo, trocamos a constante de crescimento k por uma taxa de decaimento lambda>0 e invertemos o sinal, porque a quantidade diminui com o tempo.

Passo 3

O PVI adaptado fica:
dNdt = -lambda,N, N(0)=N0

Passo 4

Resolvemos por separação de variáveis:
$$
\int \frac{dN}{N} = -\lambda \int dt \implies \ln\Bigl(\frac{N(t)}{N_0}\Bigr) = -\lambda t $$
Aplicando exponencial e usando integral dNN = -lambda integral dt implies lnl(N(t)N0r) = -lambda t , obtemos a forma da solução.

Resposta

O modelo de decaimento radioativo é
dNdt = -lambda N, N(0)=N0,
cuja solução é
N(t) = N0 ,e^-lambda t

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