Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se A é uma matriz invertível e um múltiplo da primeira linha de A é somado à segunda linha, então a matriz resultante é invertível.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz invertível A e que construímos outra matriz B somando à segunda linha de A um múltiplo da primeira. O conteúdo aqui é o efeito dessa operação elementar de linhas sobre a invertibilidade de uma matriz.

Passo 2

Sabemos da teoria que a operação “ R_2 \to R_2 + k\,R_1” é uma operação elementar de linhas do tipo 3. Essa operação pode ser representada por uma matriz elementar E tal que
B = E\,A.
Além disso, toda matriz elementar desse tipo tem determinante igual a 1, ou seja,
\det(E)=1.

Passo 3

Como A é invertível, temos \det(A)\neq0. Então
\det(B)=\det(E\,A)=\det(E)\,\det(A)=1\cdot\det(A)\neq0.
Logo \det(B)\neq0, o que implica que B também é invertível.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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