Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se
é uma matriz invertível e um múltiplo da primeira linha de
é somado à segunda linha, então a matriz resultante é invertível.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz invertível
e que construímos outra matriz
somando à segunda linha de
um múltiplo da primeira. O conteúdo aqui é o efeito dessa operação elementar de linhas sobre a invertibilidade de uma matriz.
Passo 2
Sabemos da teoria que a operação “
” é uma operação elementar de linhas do tipo 3. Essa operação pode ser representada por uma matriz elementar
tal que
Além disso, toda matriz elementar desse tipo tem determinante igual a
, ou seja,
Passo 3
Como
é invertível, temos
. Então
Logo
, o que implica que
também é invertível.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.