Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se A é uma matriz n \times n singular, então A \mathbf{x}=\mathbf{0} tem infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação
“Se A é uma matriz n\times n singular, então a equação homogênea A\mathbf{x} = \mathbf{0} tem infinitas soluções”
é sempre verdadeira ou às vezes falsa.
Conteúdo: espaços vetoriais, sistemas homogêneos e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Por definição, dizer que A é singular equivale a \det(A)=0, o que implica que A não é invertível. Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) vale
\dim(\ker A) + \rank(A) = n.

Passo 3

Se A é singular então \rank(A)<n. Logo
\dim(\ker A) = n - \rank(A) \ge 1.
Isto significa que existem vetores não-nulos em \ker A, ou seja, A\mathbf{x}=\mathbf{0} admite soluções além da trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.

Passo 4

Como \ker A é um subespaço de dimensão pelo menos 1, ele contém um vetor \mathbf{v}\neq\mathbf{0}. Mas então, para todo escalar \lambda,
A(\lambda\mathbf{v}) = \lambda\,A\mathbf{v} = \lambda\,\mathbf{0} = \mathbf{0}.
Variando \lambda\in\mathbb{R}, obtemos infinitas soluções.

Passo 5

Portanto, no contexto usual (matrizes reais ou complexas), toda matriz singular gera um núcleo de dimensão \ge1 e, por isso, o sistema homogêneo tem infinitas soluções.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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