Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se
é uma matriz
singular, então
tem infinitas soluções.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação
“Se é uma matriz
singular, então a equação homogênea
tem infinitas soluções”
é sempre verdadeira ou às vezes falsa.
Conteúdo: espaços vetoriais, sistemas homogêneos e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).
“Se
é sempre verdadeira ou às vezes falsa.
Conteúdo: espaços vetoriais, sistemas homogêneos e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Por definição, dizer que
é singular equivale a
, o que implica que
não é invertível. Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) vale
Passo 3
Se
é singular então
. Logo
Isto significa que existem vetores não-nulos em
, ou seja,
admite soluções além da trivial
.
Passo 4
Como
é um subespaço de dimensão pelo menos
, ele contém um vetor
. Mas então, para todo escalar
,
Variando
, obtemos infinitas soluções.
Passo 5
Portanto, no contexto usual (matrizes reais ou complexas), toda matriz singular gera um núcleo de dimensão
e, por isso, o sistema homogêneo tem infinitas soluções.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.