Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar.

Passo 1

O enunciado pede decidir se o produto de duas matrizes elementares é sempre uma matriz elementar. O conteúdo envolve operações elementares de linhas e produto de matrizes.

Passo 2

Lembrando que uma matriz elementar é obtida a partir da matriz identidade I aplicando exatamente uma das três operações de linha seguintes:
  1. trocar duas linhas de I,
  2. multiplicar uma linha de I por um escalar \lambda\neq0,
  3. adicionar \mu vezes uma linha de I a outra linha.

Passo 3

O produto de duas matrizes elementares corresponde à composição de duas operações de linha. Para que esse produto seja matriz elementar, a composição teria de ser equivalente a uma única operação de linha. Porém, se as operações forem de tipos distintos, não se reduzem a uma só.

Passo 4

Contra-exemplo em M_{2\times2}(\mathbb{R}). Defina
E_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix} \quad(\text{troca de linhas})
e
E_{2}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix} \quad(\text{multiplica a linha 1 por }2).
Então
E_{2}E_{1} =\begin{pmatrix}2 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 2\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Nenhuma única operação de linha sobre I produz uma matriz com zero em (1,1) e valor 2 em (1,2). Logo, E_{2}E_{1} não é uma matriz elementar.]

Resposta

Às vezes falsa.

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