Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar.
O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar.
Passo 1
O enunciado pede decidir se o produto de duas matrizes elementares é sempre uma matriz elementar. O conteúdo envolve operações elementares de linhas e produto de matrizes.
Passo 2
Lembrando que uma matriz elementar é obtida a partir da matriz identidade
aplicando exatamente uma das três operações de linha seguintes:
- trocar duas linhas de
, - multiplicar uma linha de
por um escalar , - adicionar
vezes uma linha de a outra linha.
Passo 3
O produto de duas matrizes elementares corresponde à composição de duas operações de linha. Para que esse produto seja matriz elementar, a composição teria de ser equivalente a uma única operação de linha. Porém, se as operações forem de tipos distintos, não se reduzem a uma só.
Passo 4
Contra-exemplo em
. Defina
e
Então
Nenhuma única operação de linha sobre
produz uma matriz com zero em
e valor
em
. Logo,
não é uma matriz elementar.]
Resposta
Às vezes falsa.