Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Toda matriz quadrada pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado afirma que “toda matriz quadrada pode ser expressa como um produto de matrizes elementares”. Aqui o conteúdo é a relação entre matrizes elementares, operações elementares de linha e invertibilidade de matrizes. Para decidir se isso vale sempre ou não, vamos lembrar o que são matrizes elementares e suas propriedades.

Passo 2

Uma matriz elementar é obtida a partir da matriz identidade aplicando uma única operação elementar de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo ou adicionar múltiplo de uma linha a outra). Cada matriz elementar E é invertível, pois a operação de linha que a definiu pode ser revertida por outra operação elementar.

Passo 3

Sabendo que cada matriz elementar é invertível, ao multiplicar um conjunto de matrizes elementares
E_1,\;E_2,\;\dots,\;E_k
o resultado
E_1E_2\cdots E_k
também é invertível, já que o produto de matrizes invertíveis é invertível.

Passo 4

Se toda matriz quadrada pudesse ser escrita como produto de matrizes elementares, então TODAS as matrizes quadradas seriam invertíveis. Mas existem matrizes quadradas que NÃO são invertíveis, ou seja, que têm determinante zero.

Passo 5

Por exemplo, a matriz nula
A = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}
é singular \det(A)=0 e, portanto, não pode ser escrita como produto de matrizes invertíveis. Logo não existe fatoração
A = E_1E_2\cdots E_k
com matrizes elementares E_i.]

Resposta

A afirmação é às vezes falsa: apenas as matrizes invertíveis podem ser escritas como produto de matrizes elementares; matrizes singulares (determinante zero) não podem.

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