Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se A^{-1} pode ser expressa como um produto de matrizes elementares, então o sistema linear homogêneo A \mathbf{x}=\mathbf{0} tem somente a solução trivial.

Passo 1

O enunciado afirma que se \smash{A^{-1}} pode ser escrita como produto de matrizes elementares, então o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem apenas a solução trivial. O conteúdo envolve invertibilidade de matrizes, propriedades de matrizes elementares e nulidade de sistemas lineares.

Passo 2

Cada matriz elementar é invertível e o produto de matrizes invertíveis também é invertível. Logo, se \smash{A^{-1}} é um produto de matrizes elementares, então \smash{A^{-1}} é invertível, e portanto
(A^{-1})^{-1}=A
também é invertível.

Passo 3

Como A é invertível, a aplicação linear \mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x} é injetora. Assim, A\mathbf{x}=\mathbf{0} implica \mathbf{x}=\mathbf{0}, ou seja, a única solução é a trivial.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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