Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se
pode ser expressa como um produto de matrizes elementares, então o sistema linear homogêneo
tem somente a solução trivial.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que se
pode ser escrita como produto de matrizes elementares, então o sistema homogêneo
tem apenas a solução trivial. O conteúdo envolve invertibilidade de matrizes, propriedades de matrizes elementares e nulidade de sistemas lineares.
Passo 2
Cada matriz elementar é invertível e o produto de matrizes invertíveis também é invertível. Logo, se
é um produto de matrizes elementares, então
é invertível, e portanto
também é invertível.
Passo 3
Como
é invertível, a aplicação linear
é injetora. Assim,
implica
, ou seja, a única solução é a trivial.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.