Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se
é uma matriz
singular e
resulta da permutação de duas linhas de
, então
pode ser ou não ser singular.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado que
é uma matriz
singular (ou seja, não invertível), e que
é obtida de
trocando duas linhas, então
pode ser singular ou não. O conteúdo principal aqui é a relação entre permutações de linhas e o determinante.
Passo 2
Lembramos que uma matriz é singular exatamente quando seu determinante é zero. Logo,
singular
Passo 3
Outro fato clássico é que trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por
. Assim, se
vem de
por essa troca, temos
Passo 4
Como
, segue que
ou seja,
também é singular.
Resposta
A afirmação “
pode ser ou não ser singular” é falsa:
será sempre singular.