Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se A é uma matriz n \times n singular e B resulta da permutação de duas linhas de A, então B pode ser ou não ser singular.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado que A é uma matriz n\times n singular (ou seja, não invertível), e que B é obtida de A trocando duas linhas, então B pode ser singular ou não. O conteúdo principal aqui é a relação entre permutações de linhas e o determinante.

Passo 2

Lembramos que uma matriz é singular exatamente quando seu determinante é zero. Logo, \;A singular \iff \det(A)=0.

Passo 3

Outro fato clássico é que trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1. Assim, se B vem de A por essa troca, temos
\det(B)=-\det(A).

Passo 4

Como \det(A)=0, segue que
\det(B)=-0=0,
ou seja, B também é singular.

Resposta

A afirmação “ B pode ser ou não ser singular” é falsa: B será sempre singular.

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