Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se A é uma matriz n \times n singular, então a forma escalonada reduzida por linhas de A tem pelo menos uma linha de zeros.

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é sempre verdadeira ou às vezes falsa:
“Se A é uma matriz n\times n singular, então a forma escalonada reduzida por linhas de A tem pelo menos uma linha de zeros.”
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a relação entre singularidade, posto (rank) e forma escalonada reduzida.

Passo 2

Recorde que A é singular se, e somente se, \det(A)=0. Em Álgebra Linear isso equivale a
\mathrm{rank}(A)<n.

Passo 3

Também sabemos que, ao reduzir A à forma escalonada reduzida por linhas (RREF), o número de linhas não nulas nessa forma é exatamente \mathrm{rank}(A). As demais linhas tornam-se completamente zero.

Passo 4

Como \mathrm{rank}(A)<n, o número de linhas não nulas na RREF é menor que n. Logo há n - \mathrm{rank}(A)>0 linhas de zeros nessa forma.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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