Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Se
é uma matriz
singular, então a forma escalonada reduzida por linhas de
tem pelo menos uma linha de zeros.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é sempre verdadeira ou às vezes falsa:
“Se é uma matriz
singular, então a forma escalonada reduzida por linhas de
tem pelo menos uma linha de zeros.”
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a relação entre singularidade, posto (rank) e forma escalonada reduzida.
“Se
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a relação entre singularidade, posto (rank) e forma escalonada reduzida.
Passo 2
Recorde que
é singular se, e somente se,
. Em Álgebra Linear isso equivale a
Passo 3
Também sabemos que, ao reduzir
à forma escalonada reduzida por linhas (RREF), o número de linhas não nulas nessa forma é exatamente
. As demais linhas tornam-se completamente zero.
Passo 4
Como
, o número de linhas não nulas na RREF é menor que
. Logo há
linhas de zeros nessa forma.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.