Você acredita que existe uma matriz
de tamanho
tal que
para todos valores de
e
? Explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado pede para saber se existe uma matriz
tal que, para todo
,
O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente a ação de uma matriz sobre outra e a linearidade das colunas.
Passo 2
Seja
. Escrevendo
em colunas,
Então
Isso mostra que cada coluna de
depende só da coluna correspondente de
.
Passo 3
Pelo enunciado queremos
Mas
é
e
é
. Logo
não pode depender de
nem de
, apenas de
e
.
Passo 4
Suponha
Então
deveria ser igual a
para todos
. Em particular a igualdade
é impossível, pois o lado esquerdo não depende de
, enquanto o direito não depende de
.
Passo 5
Isso já basta para concluir que não há matriz
que faça a troca desejada em todas as colunas simultaneamente, pois viola a linearidade em colunas independentes.
Resposta
Não existe tal matriz
de tamanho
.