Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( )Se A \in M_{n}(\mathbb{R}) e n é par, então \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(-A).

Passo 1

O enunciado diz: seja A\in M_{n}(\mathbb{R}) com n par. Queremos decidir se sempre vale
\det(A)=\det(-A).
O conteúdo que vamos usar é a propriedade do determinante em relação à multiplicação de uma matriz por escalar.

Passo 2

Pela propriedade de determinantes, para todo escalar c e toda matriz A\in M_{n}(\mathbb{R}) temos
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Tomando c=-1, isto dá
\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).
Como n é par, (-1)^{n}=1. Portanto
\det(-A)=\det(A).

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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