Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se A é uma matriz quadrada e A^{2} tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente A tem uma coluna constituída somente de zeros.

Passo 1

O enunciado pergunta se a condição “ A^2 tem a j-ésima coluna toda nula” implica necessariamente que “ A tenha alguma coluna toda nula”. Aqui A é uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo qualquer.

Passo 2

Repare que a j-ésima coluna de A^2 é
(A^2)_{\ast j} = A\,(A_{\ast j}),
onde A_{\ast j} é a j-ésima coluna de A. Assim “ A^2 tem coluna j nula” equivale a
A\,(A_{\ast j}) = 0.
Isso diz apenas que A_{\ast j} pertence ao núcleo de A. Não exige que A_{\ast j}=0; basta que seja um vetor não-nulo enviado para zero por A.

Passo 3

Para ver que a afirmação é falsa em geral, basta um contra-exemplo. Tome
A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & -1 \end{pmatrix}.
As colunas de A são \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}, nenhuma delas é o vetor nulo. Mas
A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 1-1\\\\ -1+1 & -1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix},
logo ambas as colunas de A^2 são nulas, embora A não tenha coluna nula.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa.

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