Considere a matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right). Determine:
(a) (1.0 \mathrm{pt}) os autovalcres ae A e suas multiplicidades algébricas.
(b) (1.0 \mathrm{pt}) o polinômio mínimo de A.
(c) (1.0 \mathrm{pt}) uma base de cada autoespaço e a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
(d) (1.0 \mathrm{pt}) se A é diagonalizável.
e pede:
(a) os autovalores de A e suas multiplicidades algébricas;
(b) o polinômio mínimo de A;
(c) base de cada autoespaço e multiplicidade geométrica de cada autovalor;
(d) se A é diagonalizável.
Para isso vamos usar a teoria de matrizes triangulares (determinante e polinômio característico), cálculo do polinômio mínimo via blocos de Jordan, e resolver (A-I)x=0 para achar o autoespaço.
Passo 2
Como A é triangular superior, seu polinômio característico é
\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I - A) =(\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda-1) =(\lambda-1)^3.
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica igual a 3.
Passo 3
Definindo N = A - I, temos que N é nilpotente de ordem 3, pois
N^2 \neq 0,\quad N^3=0.
Isto implica que o menor expoente k tal que N^k=0 é k=3. Portanto o polinômio mínimo de A é
m_A(\lambda)=(\lambda-1)^3.
Passo 4
Para achar o autoespaço de \lambda=1 resolvemos
(A - I)x = Nx = 0.
Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3)^T, a equação Nx=0 dá
2x_2 + 3x_3 = 0,\quad 2x_3 = 0,
logo x_3=0 e x_2=0, enquanto x_1 fica livre.
Assim o autoespaço é
\{\,t(1,0,0)^T : t\in\mathbb{R}\},
cuja base pode ser escolhida como \{(1,0,0)^T\}. A multiplicidade geométrica de \lambda=1 é o número de vetores da base, isto é, 1.
Passo 5
Uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica iguala a multiplicidade algébrica e a soma das geométricas chega à dimensão total. Aqui a única multiplicidade geométrica é 1, enquanto a algébrica é 3. Logo não coincide, e Anão é diagonalizável.
Resposta
(a) O único autovalor é \lambda=1, com multiplicidade algébrica 3.
(b) O polinômio mínimo é m_A(\lambda)=(\lambda-1)^3.
(c) O autoespaço de \lambda=1 tem base \{(1,0,0)^T\}; a multiplicidade geométrica é 1.
(d) A não é diagonalizável.